[Risolto] Stabilire se la seguente successione è monotona e/o limitata superiormente e inferiormente

Supponiamo $a_n \leq a_{n+1}\,.$ Per il Principio di Induzione Matematica:

\[\text{per ipotesi induttiva} \quad a_{n-1} \leq a_n \mid n \geq 2 \implies \frac{a_{n-1}}{2} + 4 \leq \frac{a_n}{2} + 4 \iff\]

\[a_n \leq a_{n+1} \quad \text{la successione e' monotona crescente}\,.\]

Supponiamo

\[\exists \lim_{n\to +\infty} a_n = \phi \in \mathbb{R} \implies \phi = \frac{\phi}{2} + 4 \iff\]

\[2\phi = \phi + 8 \iff \phi = 8\,.\]

Dunque la successione converge.

Risolvere l'equazione alle differenze
* (a(1) = 1) & (a(n) = a(n - 1)/2 + 4) ≡
≡ (a(0) = - 6) & (a(k + 1) = a(k)/2 + 4) ≡ a(k) = 8 - 7/2^(k - 1)
Trovare la funzione di sostegno
* Δa(k) = a(k + 1) - a(k) = 7/2^(k - 1)
* y' = 7/2^(x - 1) ≡ y(x) = A - (7*2^(1 - x))/ln(2)
* y(0) = A - (7*2^(1 - 0))/ln(2) = - 6 ≡ A = 14/ln(2) - 6
quindi
* y = 14*(1 - 1/2^x)/ln(2) - 6
che è monotòna crescente con un solo asintoto, orizzontale: y = 14/ln(2) - 6 ~= 14.2
Concludere
* a(k) = 8 - 7/2^(k - 1)
è monotòna crescente con estremo superiore otto.

Facciamo così. Ti risolvo la ricorrenza implicita e poi tu te la dimostri per induzione.

a1 = 1

a(n+1) = 1/2 a(n) + 4

a = a/2 + 4

a/2 = 4

a = 8

b^(n+1) = 1/2 b^n

b = 1/2

a(n) = K/2^n + 8

a(1) = 1 => 1 = K/2 + 8 => K/2 = -7 => K = -14

a(n) = 8 - 14/2^n

a1 = 1, a2 = 8 - 14/4 = 9/2

a3 = 8 - 14/8 = 8 - 7/4 = 25/4 etc

a3 = 1/2 * 9/2 + 4 = 9/4 + 16/4 = 25/4

La successione é monotona crescente, é limitata e il suo limite é 8.

Per n = 1 abbiamo già visto che va bene

Supponiamo ora che a(n-1) = 8 - 14/2^(n-1)

a(n) = 1/2 a(n-1) + 4 = 1/2 * 8 - 14/2^n + 4 =

= 4 + 4 - 14/2^n = 8 - 14/2^n