Spazio di Hilbert/duale

Credo che procederei in questo modo.

Notiamo prima di tutto che essendo M' un sottospazio chiuso dello spazio di Hilbert H, allora è ancora uno spazio di Hilbert.

Per il teorema di Riesz-Fréchet possiamo dire che

dato $f \in M'$: $\exists\varphi_F\in M \, tc \, f(x)=\left\langle x,\varphi_f \right\rangle$ $\forall x\in M$

Costruiamo un'estensione di $f'$ ponendo $g: H\rightarrow \mathbb{R}$ che associa:

$g(x) = \left\{ \begin{array}{cl}
f(x) & : \ x \in M \\
0 & : \ x \in H \smallsetminus M
\end{array} \right.$

Quindi possiamo dire che:

$ g(x) = f(x) =  \left\langle x,\varphi_f \right\rangle$, $\forall x \in M$

mentre

$ g(x) = 0 = \left\langle x, 0 \right\rangle$ $\forall x \in H \smallsetminus M$

in virtù del fatto che $\left\langle x, y \right\rangle = 0 \, \forall x \, \leftrightarrow y=0$

Inoltre abbiamo che::

$\left\| g\right\|_{H'} = sup_{\left\| x \right\|\leq 1,\, x \in H}|g(x)|$

Ma dato che $g(x)=0$ per $x \in H \smallsetminus M$, allora questo sup coincide con il sup fatto in M:

$sup_{\left\| x \right\|\leq 1,\, x \in H}|g(x)|= sup_{\left\| x \right\|\leq 1,\, x \in M}|g(x)| = sup_{\left\| x \right\|\leq 1,\, x \in M}|f(x)| = \left\| f\right\|_{M'}$

Noemi