Sostituire i valori nella funzione parametrica

@zetas

Ciao e benvenuto.

L’iperbole non equilatera deve passare per i tre punti dati:

y=(ax^2+bx+c)/(x-2)

A(3,8)——B(-1,0)——C(1,0)

quindi:

{(9a+3b+c)=8

{(a-b+c)/(-3)=0—————-{a-b+c=0

{(a+b+c)/(-1)=0————-{a+b+c=0

Dalla 2^ e 3^equazione deduci che deve essere b=0  ( basta fare una sottrazione membro a membro)

Quindi:

{9a+c=8

{a+c=0———->c=-a

a=1, b=0,c=-1——————->y=(x^2-1)/(x-2)

Per ciascun punto devi imporre la condizione di appartenenza alla funzione f(x) quindi il pto A appartiene alla funzione se:

8= (a*3²+3b+c)/(3-2) ossia 9a+3b+c=8

Il pto B appartiene alla funzione se 

0=(a*(-1)²+(-1)*b+c)/(-1-2) ossia a-b+c=0

Lo stesso per il terzo punto:

a+b+c=0

e risolvi il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite.

Sottraendo la seconda equazione alla 3 trovi subito

b=0

Dalla terza c=-a e quindi sostituendo nella prima 

8a=8 quindi a=1

c=-1

Per "capire come sostituire i valori nella funzione parametrica" ti devi accertare d'aver ben compreso il significato dell'operazione; capito quello, anche il modo ti sarà chiaro.
COMPRENDERE IL SIGNIFICATO
C'è l'equazione di una famiglia di curve
* y = f(x; a, b, c)
dove (x, y) sono le variabili indipendente e dipendente, mentre (a, b, c) sono i parametri la cui variabilità determina le diverse curve della famiglia.
Allo scopo di restringere la famiglia ai soli parenti stretti, o ai soli parenti entro l'ottavo grado, o (come in questo esercizio) a un solo individuo si pongono CONDIZIONI SULLE VARIABILI ciascuna delle quali dà luogo a un VINCOLO SUI PARAMETRI.
Dopo aver applicato tutte le condizioni si ottiene un sistema di equazioni dove i parametri della famiglia di curve sono le variabili del sistema.
La procedura risolutiva del sistema deve condurre a una delle tre soluzioni possibili.
1) Il sistema è impossibile (le condizioni erano o troppe o contraddittorie).
2) Il sistema è determinato (le condizioni hanno saturato esattamente la variabilità).
3) Il sistema è indeterminato (le condizioni hanno saturato solo parzialmente la variabilità restringendo sì la famiglia, ma non a un solo individuo.).
COME PROCEDERE NEL CASO IN ESAME
L'equazione della famiglia di curve è
* y = (a*x^2 + b*x + c)/(x - 2) ≡
≡ y = ((a*x + b)*x + c)/(x - 2)
a cui applicare le condizioni restrittive dell'appartenenza di tre punti
* A(3, 8), B(- 1, 0), C(1, 0)
che danno luogo ai tre vincoli ottenuti sostituendo alle variabili (x, y) le coordinate del punto
* A(3, 8): 8 = ((a*3 + b)*3 + c)/(3 - 2) ≡ 9*a + 3*b + c = 8
* B(- 1, 0): 0 = ((a*(- 1) + b)*(- 1) + c)/(- 1 - 2) ≡ a - b + c = 0
* C(1, 0): 0 = ((a*1 + b)*1 + c)/(1 - 2) ≡ a + b + c = 0
Il sistema dei vincoli
* (9*a + 3*b + c = 8) & (a - b + c = 0) & (a + b + c = 0) ≡
≡ (a = 1) & (b = 0) & (c = - 1)
risulta determinato e individua l'unica curva della famiglia che soddisfaccia a tutte le condizioni
* y = (x^2 - 1)/(x - 2) ≡ x^2 - x*y + 2*y - 1 = 0
che è un'iperbole con
* centro (2, 4)
* asintoti x = 2, y = x + 2
* assi di simmetria
** y = (1 + √2)*x + 2*(1 - √2)
** y = (1 - √2)*x + 2*(1 + √2)
* vertici
** (2 - √(3/√2), 4 - √(3*(2 + 3/√2)))
** (2 + √(3/√2), 4 + √(3*(2 + 3/√2)))
con questi dati puoi tracciare il gradico di "y = f(x)" poi, per trovare quello di "y = |f(x)|", devi solo ribaltare specularmente all'insù le parti nel semipiano y < 0.
Dovresti ritrovarti con un grafico come quello al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D%7C%28x%5E2-1%29%2F%28x-2%29%7C%2C%7Bx%2C-9%2C9%7D%5D