Le variabili casuali $X_i$ con i=1,...,29 seguono una distribuzione normale di parametri $\mu_i = 120$ e $\sigma = 0.1$; le variabili casuali $X_i$, con i=21,...,30, seguono una distribuzione normale di parametri $\mu_i = -240$ e $\sigma = 0.02$; la variabile casuale $X_{31}$ segue una distribuzione uniforme nell'intervallo [-100,100]. Definendo la variabile Y che è la somma di tutte le $X_i$ quanto vale la probabilità che Y sia minore di -50?
Ecco comunque la soluzione corretta con annesso disegnino:
(doppio click sull'immagine per ingrandirla)
Nota: ho arrotondato la varianza della Gaussiana da 0.204 a 0.200 per comodità (tanto nulla cambia)
Ovviamente molto più semplicemente, basterebbe osservare che la distribuzione gaussiana in oggetto ha un range che va da -1.5 a 1.5 e quindi nulla influisce sulla distribuzione somma quando cerchiamo la probabilità che essa sia minore di -50. Di conseguenza basta fare i conti sulla uniforme: 50/200=1/4
Non sono certissimo della risposta ma spero di poterti aiutare comunque!
Cominciamo subito ricordando che la somma di normali è ancora normale, ma con parametri diversi!
Nel nostro caso possiamo sommare le normale da 1 a 30.
la nuova media sarà: $\mu = \sum_{i=1}^{30} \mu_i = 120 \cdot 29-240 \cdot 9= 3480-2160=1320 $
La varianza invece è data da: $\sigma^2 = \sum_{i=1}^{30} \sigma^2_i = (0.1)^2 \cdot 29 + (0.02)^2 \cdot 9 = 0.29+0.0036=0.2936 $
Quindi è come se dovessimo sommare una normale $X \approx \mathcal{N}(1320; 0.2936) $ e una uniforme $U \approx U([-100; 100])$.
La densità di probabilità della variabile aleatoria $Y$ definita come somma di $X$ e $U$ è data dal prodotto di convoluzione delle densità di $X$ e $U$ perché esse sono indipendenti quindi:
minchia a leggere 'sto forum sembra di leggere il manuale di Nonna Papera...
Per quanto riguarda la risposta di @EidosM il risultato è corretto, 0.25 ma l'integrale è del tutto errato. Viene il risultato corretto solo casualmente perché la Gaussiana è del tutto ininfluente....
Per la risposta di @Pazzouomo va beh....no comment...prima spera di calcolarsi la densità con la convoluzione e poi (non ci riesce) dovrebbe re-integrarla....
@tommik beh, invece di criticare gli altri potevi fornire tu la risposta corretta! ?
@simon: non vedo perché dovrei raddrizzare ciò che altri hanno fatto storto...basta fare un semplice grafico da II superiore per vedere che il primo integrale non è su tutto R ma è troncato a 50....e quindi il procedimento risolutivo è del tutto differente. Il risultato viene comunque 1/4 ma per un puro caso che è del tutto indipendente da quella fesseria di integrale che è stato scritto.
Se non siete nemmeno capaci di rispondere a quesiti così banali lasciate perdere....
@tommik bravissimo! Tu sì che sei su questo sito per fare del bene e diffondere cultura (:
@tommik sono curioso di sapere la tua soluzione, dato che sei così bravo! Magari ci insegni pure qualcosa.