[Risolto] Somma variabili casuali

Ecco comunque la soluzione corretta con annesso disegnino:

 (doppio click sull'immagine per ingrandirla)

 Nota: ho arrotondato la varianza della Gaussiana da 0.204 a 0.200 per comodità (tanto nulla cambia)

Ovviamente molto più semplicemente, basterebbe osservare che la distribuzione gaussiana in oggetto ha un range che va da -1.5 a 1.5 e quindi nulla influisce sulla distribuzione somma quando cerchiamo la probabilità che essa sia minore di -50. Di conseguenza basta fare i conti sulla uniforme: 50/200=1/4

cordiali saluti

Ciao!

Non sono certissimo della risposta ma spero di poterti aiutare comunque!

Cominciamo subito ricordando che la somma di normali è ancora normale, ma con parametri diversi!

Nel nostro caso possiamo sommare le normale da 1 a 30.

la nuova media sarà: $\mu = \sum_{i=1}^{30} \mu_i = 120 \cdot 29-240 \cdot 9= 3480-2160=1320 $

La varianza invece è data da: $\sigma^2 = \sum_{i=1}^{30} \sigma^2_i = (0.1)^2 \cdot 29 + (0.02)^2 \cdot 9 = 0.29+0.0036=0.2936 $

Quindi è come se dovessimo sommare una normale $X \approx \mathcal{N}(1320; 0.2936) $ e una uniforme $U \approx U([-100; 100])$. 

La densità di probabilità della variabile aleatoria $Y$ definita come somma di $X$ e $U$ è data dal prodotto di convoluzione delle densità di $X$ e $U$ perché esse sono indipendenti quindi:

$f_Y(y)= \int_{\mathbb{R}} f_X(x) f_{U}(y-x)dx = \int_{\mathbb{R}} f_X(x) \frac{1}{200} \mathbf{1}_{[-100; 100]}(z-x) dx $ 

Facciamo un cambio di probabilità: $ u = y-x$, quindi $du = -dx$

$- \int_{+\infty}^{-\infty} f_X(y-u) \frac{1}{200} \mathbf{1}_{[-100; 100]}(u) du =\frac{1}{200}   \int_{-100}^{+100} f_X(y-u) du $ 

Facciamo un nuovo cambio di variabili per rendere più esplicito l'integrale della Gaussiana:

$ z = y-u $
$ dz = -du $

$- \frac{1}{200}   \int_{y+100}^{y-100} f_X(z) dz  = \frac{1}{200}   \int_{y-100}^{y+100} f_X(z) dz  = F_X(y+100)-F_X(y-100)$ 

Quindi

$F_Y(-50) = \int_{-\infty}^{-50} f_Y(y) dy = \int_{-\infty}^{-50} [F_X(y+100)-F_X(y-100) ]dy $.

Ora non so più andare avanti sinceramente.... mi spiace 

Una variabile casuale non può avere due distribuzioni diverse.

Supponendo allora che le prime 20 abbiano media 120 e sigma 0.1

e le successive 10 abbiano media -240 e sigma 0.02

la somma delle prime 30 è anch'essa normale con media 120*20 - 240*10 = 0

e varianza 20*0.01 + 10*0.0004 = 0.204

Hai quindi Pr [ X + Y < - 50 ]

con X ~ N(0, s^2)   e Y ~ U (-100,100)   indipendenti

Pr [ X + Y < - 50 ] =

Somma generalizzata (su x) Pr [ Y <= - 50 - X | X = x ] Pr [ X = x ] =

= S_[-oo,+oo ] S_[-100,- 50 - x] 1/200 dy * fX(x) dx =

= S_[-oo,+oo] (-50 - x +100)/200 * 1/(s sqrt(2pi) ) e^(-x^2/(2s^2)) dx =

= S_[-oo, +oo] ( 50 - x )/200 1/(s sqrt(2pi) ) e^(-x^2/(2s^2)) dx =

= S_[-oo,+oo] (50/200) 1/(s sqrt(2pi) ) e^(-x^2/(2s^2)) dx

perchè la seconda parte è nulla avendo integrando dispari su intervallo

simmetrico rispetto a 0

= 1/4 S_[-oo,+oo] 1/(s sqrt(2pi) ) e^(-x^2/(2s^2)) dx = 1/4 * 1 = 1/4.

minchia a leggere 'sto forum sembra di leggere il manuale di Nonna Papera...

Per quanto riguarda la risposta di @EidosM il risultato è corretto, 0.25 ma l'integrale è del tutto errato. Viene il risultato corretto solo casualmente perché la Gaussiana è del tutto ininfluente....

Per la risposta di @Pazzouomo  va beh....no comment...prima spera di calcolarsi la densità con la convoluzione e poi (non ci riesce)  dovrebbe re-integrarla....