Sia $B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) \in \mathcal{M}(2 \times 2, \mathbb{R})$. Stabilire se è diretta la somma dei seguenti sottospazi di $\mathcal{M}(2 \times 2, \mathbb{R})$ :
$$
W_1=\langle B\rangle, \quad W_2=\left\{\left(a_{i j}\right) \in \mathcal{M}(2 \times 2, \mathbb{R}) \mid a_{11}+a_{22}=0\right\}
$$
Se la somma non è diretta, esibire una matrice non nulla $C \in W_1 \cap W_2$.
Ho appena cominciato e vorrei sapere se ho ragionato bene. Grazie in anticipo.
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Livello 0
\[W_1 = \left\{ \lambda B \mid \lambda \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid \lambda \in \mathbb{K} \right\}\]
Quindi, la base per $W_1$ è:
\[\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}\]
\[\dim{(W_1)}= 1\,.\]
Ogni matrice in $W_2$ può essere definita come
\[A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\]
\[\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right\}\]
\[\dim{(W_2)}= 3\,.\]
Bisogna verificare se esiste una matrice non-nulla in $W_1$ tale da soddisfare l'ulteriore condizione di $W_2$
\[C = \lambda \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in W_2\]
\[\lambda \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\,.\]
Per soddisfare la condizione di $W_2\,$:
\[a_{11} + a_{22} = 0 \implies \lambda + \lambda = 0 \implies 2\lambda = 0 \implies \lambda = 0\,.\]
Dunque
\[W_1 \cap W_2 = \{0\} \implies W_1 \oplus W_2\,.\]
3584
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Livello 5
