Somma diretta

Calcoliamo una base per ogni intersezione.

• $ U \cap V $

Si tratta di determinare le soluzioni del sistema composto dalle due equazioni associate

$ \left\{\begin{aligned} x+y+z &= 0 \\ x+2y+2z &= 0 \end{aligned} \right. $

Sottraendo la prima dalla secondo si ottiene un sistema equivalente

$ \left\{\begin{aligned} x+y+z &= 0 \\ y+z &= 0 \end{aligned} \right. $ 

dal quale deduciamo x = 0  ∧  y+z = 0. Quest'ultima ha una variabile libera. Poniamo z = t. Le soluzioni del sistema sono

$ (0, -t, t) = t\,(0, -1, 1).$ La base del sottospazio intersezione è quindi (0, -1, 1)

• $ V \cap W $

Si tratta di determinare le soluzioni del sistema composto dalle due equazioni associate

$ \left\{\begin{aligned}  x+2y+2z &= 0 \\x+2y+3z &=0 \end{aligned} \right. $

Sottraendo la prima dalla secondo si ottiene un sistema equivalente

$ \left\{\begin{aligned} x+2y+2z &= 0 \\ z &= 0 \end{aligned} \right. $ 

dal quale deduciamo z = 0  ∧  x+2y = 0. Quest'ultima ha una variabile libera. Poniamo y = s. Le soluzioni del sistema sono

$ (-2s, s, 0) = s\,(-2, 1, 0).$ La base del sottospazio intersezione è quindi (-2, 1, 0)

• $ U \cap W $

Si tratta di determinare le soluzioni del sistema composto dalle due equazioni associate

$ \left\{\begin{aligned}  x+y+z &= 0 \\x+2y+3z &=0 \end{aligned} \right. $

Sottraendo la prima dalla secondo si ottiene un sistema equivalente

$ \left\{\begin{aligned} x+y+z &= 0 \\ y+2z &= 0 \end{aligned} \right. $ 

Il sistema ha una variabile libera. Poniamo z = p. Le soluzioni del sistema sono

$ (-p, -2p, p) = p\,(-1, -2, 1).$ La base del sottospazio intersezione è quindi (-1, -2, 1)

La somma dei tre sottospazi è un sottospazio di ℝ³. I tre sottospazi intersezione hanno dimensione dim = 1 quindi la loro somma potrebbe essere ℝ³ a patto che le tre basi siano linearmente indipendenti, cioè

 ℝ³ ≟ Span{(0, -1, 1), (-2, 1, 0), (-1, -2, 1)}

Per provare la loro lineare indipendenza calcoliamo il determinante associato

$ \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2&1&0 \\-1&-2&1 \end{vmatrix} = 1 $    

Essendo la matrice non singolare la somma dei tre sottospazi è proprio ℝ³