INSCRIVERE in un triangolo equilatero di lato l un cerchio e poi nel cerchio un triangolo equilatero e così via
Così pure si circoscrivere al triangolo equilatero un cerco e a questo ultimo un triangolo e così via calcolare la somma della serie delle aree dei triangoli delle aree dei cerchi inscritti delle aree dei cerchi circoscritti
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Livello 2
Svolgo solo la parte relativa ai triangoli perché per le altre basta cambiare il punto di partenza.
Posto ao = a il lato del triangolo equilatero principale
r = raggio della circonferenza inscritta = 2S/P = 2 * rad(3)/4 a^2 : 3a = rad(3)/6 a
Poiché per il teorema della corda a' = r rad(3)
( per il Teorema di Carnot l^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 cos 120° ) = 3r^2 )
si deduce subito a1 = rad(3)/6 a * rad(3) = 3/6 a = a/2
S1/So = k^2 = (a1/ao)^2 = (1/2)^2 = 1/4
e la somma delle aree di tutti i triangoli ottenuti é
S = rad(3)/4 a^2 (1 + 1/4 + 1/4^2 + ... + 1/4^n + ... ) =
= rad(3)/4 a^2 * 1/(1 - 1/4) = rad(3)/4 a^2 * 1: 3/4 =
= rad(3)/4 * 4/3 a^2 = rad(3)/3 a^2
la somma di una serie geometrica é S = Bo/(1 - q)
www.sosmatematica.it/contenuti/somma-della-serie-s_k1-oo-k-ak/
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Livello 7
