Considera il rettangolo DEFG, inscritto nel triangolo equilatero ABC di lato l. In una rotazione completa intorno all'altezza AH si formano un cono e un cilindro inscritto in esso. Determina per quale valore di x si ha il cilindro di volume massimo.
Chi mi aiuta a risolvere questo quesito?
@luigi2 ...per dirla tutta basta una semi-rotazione (180°) per ottenere il solido
@luigi2
BE = x , 0 < x < l
Il triangolo EBD è rettangolo con angoli di 30, 60 e 90 gradi.
Quindi:
BD=x/2
DE= (x/2)*radice (3}
DG = (l - x)
DH = ((l - x) /2)
Possiamo quindi calcolare il volume del cilindro:
V(x) =pi* (DH)² * DE
V(x) = ((pi*radice (3))/8)*(l - x)² * x
Determino i valori di x che annullano la derivata prima e ne studio il segno.
V'(x) = ((pi*radice (3))/8)*[2*(l-x)*(-x) + (l-x)²] =
= ((pi*radice (3))/8)*(3x² - 4lx + l²)
V'(x) =0 se x=l/3 oppure x=l
V'(x) >0 se x< l/3 oppure x>l
Possiamo quindi dire che:
x=l/3
è un punto di massimo per la funzione V(x).
@stefanopescetto 👍 👍 👍
Lato del triangolo equilatero ABC = L;
Condizione posta per BE = x; x < L;
Il triangolino EBD è rettangolo; l'angolo in E misura 30°; l'ipotenusa è x;
altezza cilindro DE = x * cos30° = x * rad(3)/2; altezza cilindro.
BD = x * sen30° = x/2;
Base cilindro DG = BC - (BD + CG);
DG = L - ( x/2 + x/2) = L - x;
raggio del cerchio di base del cilindro DH;
DH = DG/2 = 1/2 * (L - x); raggio.
Volume cilindro = pigreco * r^2 * h;
V = pigreco * [1/2 * (L - x)]^2 * [x * rad(3)/2];
V = (pigreco * rad(3) / 4) * (L^2 + x^2 - 2Lx ) * x;
V(x) = (pigreco * rad(3) / 4) * (x^3 - 2Lx^2+ L^2 x);
Volume massimo; derivata prima dV(x) / dx = 0; V'(x) = 0;
V'(x) = (pigreco * rad(3) / 4) * ( 3x^2 - 4Lx +L^2);
V'(x) = 0 se :
3x^2 - 4Lx + L^2 = 0;
x = [2L +- rad(4L^2 - 3L^2)] / 3;
x = [2L +- rad(L^2) ] / 3;
x1 = (2L + L ) / 3 = L; da scartare.
x deve essere minore di L;
x2 = (2L - L ) / 3 = L /3; punto di massimo.
Cilindro di volume massimo.
ciao @luigi2
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