solido composto

Diciamo r raggio di base cilindro e raggio semisfera ed h altezza cilindro.

La superficie del solido è: S =pi*r^2+ 2*pi*r*h+1/2*(4*pi*r^2)=a

a= pi*r*(r+2h+2r)=pi*r(3r+2h)

mentre il volume è:

V=pi*r^2*h+1/2*(4/3pi*r^3=pi*r^2(h+2/3*r)

Quindi determinare Vmax con il vincolo a= pi*r(3r+2h)= cost

Se mi ricordo vedrò di rispondere domani. Buonanotte.

Riprendo:

Dal volume ottengo:

h = (3·v - 2·pi·r^3)/(3·pi·r^2)

dalla superficie ottengo:

h = (a - 3·pi·r^2)/(2·pi·r)

eguaglio i secondi membri:

(3·v - 2·pi·r^3)/(3·pi·r^2) = (a - 3·pi·r^2)/(2·pi·r)

Risolvo:

v = r·(3·a - 5·pi·r^2)/6

v'= (a - 5·pi·r^2)/2----> v'=0

(a - 5·pi·r^2)/2 = 0-------> r = √5·√a/(5·√pi)

per tale r con a = cost si ha un max

v''=- 5·pi·r<0

Facendo un raffronto con quanto ottenuto da @remanzini_rinaldo, per a= pi si ottiene:

v = √5·√a/(5·√pi)·(3·a - 5·pi·(√5·√a/(5·√pi))^2)/6

v = √5·a^(3/2)/(15·√a)

v(pi)  = √5·pi^(3/2)/(15·√pi)-------> v = 0.4683209820 OK!

ipotesi : a = π

π = πd(3d/4+h)

1 = d(3d/4+h)

h = (1-0,75d^2)/d 

V = πd^2/4(h+d/3)

la tabella sottostante mostra come V sia massimo e pari a 0,46832 per d = 0,8950 e dia luogo ad un rapporto a/V = 3,14159/0,46832 = 6,70820

applicando alla mia ipotesi la brillante soluzione di Eidos (Vmax = π/3*√1/5) si trova esattamente 0,46832 , vale a dire il valore in rosso della mia tabella , a conferma del fatto che siamo entrambi nel giusto 

La superficie totale del cilindro é Sb + 1/2 Ss + Slc = a

pi R^2 + 2 pi R^2 + 2 pi R h = a

3 pi R^2 + 2 pi R h = a 

2 pi R h = a - 3 pi R^2

h = (a - 3 pi R^2)/(2 pi R) 

in cui deve risultare 

R > 0

a - 3 pi R^2 >= 0 =>   R^2 <= a/(3pi) 

e in definitiva     0 < R < rad[a/(3pi)]

Il volume sarà invece dato da 

V = 2/3 pi R^3 + pi R^2 h = max 

2/3 pi R^3 + pi R^2/(2 pi R) * (a - 3 pi R^2) = max 

2/3 pi R^3 + a R/2 - 3/2 pi R^3 = max 

a R/2 - 5/6 pi R^3 = max 

La condizione necessaria di estremo dV/dR = 0 ci porta a 

a/2 - 5/2 pi R^2 = 0

da cui R^2 = a/(5 pi) => R = rad(a/(5pi)) 

che si trova fra 0 e rad[a/(3pi)] 

e che questo sia un massimo si comprende dal fatto che 

d^2 V/dR^2 = - 5 pi R é negativa per questo valore di R. 

Ti lascio il compito di provare che tale massimo é assoluto 

verificando che risulta V [ rad(a/(5pi)) ] > V [ rad(a/(3pi)) ]

e di calcolare il volume massimo per sostituzione nell'espressione di V.

Il risultato, se i miei calcoli sono esatti, dovrebbe essere 

Vmax = a/3 rad (a/(5pi))

Semisfera di raggio r (senza base)
* volume V1 = (2/3)*π*r^3
* area A1 = 2*π*r^2
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Cilindro di raggio r e altezza h (senza una base)
* volume V2 = h*π*r^2
* area laterale A2a = 2*h*π*r
* area di base A2b = π*r^2
* area totale A2 = 2*h*π*r + π*r^2
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Solido composto
* volume V = (2/3)*π*r^3 + h*π*r^2 = (π/3)*(3*h + 2*r)*r^2
* area A = 2*π*r^2 + 2*h*π*r + π*r^2 = π*(2*h + 3*r)*r = a
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Per devozione a tradizioni consolidate chiamo (x, y, z) le variabili e k il parametro.
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Vincoli
* k > 0
* x > 0
* y > 0
* π*(2*h + 3*r)*r = a ≡
≡ 3*y^2 + 2*x*y = k = a/π ≡
≡ (x = (k - 3*y^2)/(2*y))
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Volume
* V = (π/3)*(3*h + 2*r)*r^2 ≡
≡ 3*V/π = z = 2*y^3 + 3*x*y^2
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PROBLEMA
Massimizzare z sotto il vincolo (x = (k - 3*y^2)/(2*y)) & (k > 0) & (x > 0) & (y > 0)
VEDI SE CI RIESCI TU per via diretta: io, facendo il giro della vigna dell'arciprete, ho trovato solo quale sia il risultato da dimostrare
* zMax = 2*y^3 + 3*x*y^2 = √(k^3/5)
da cui
* (2*y^3 + 3*x*y^2 = √(k^3/5)) & (k > 0) & (x > 0) & (y > 0)
può avere la classica consolazione con l'aglietto
* (k = 5) & (x = 1) & (y = 1)

SECONDA RISPOSTA
Una possibile via diretta m'è venuta in mente stamane durante le terapie mattutine, riflettendo sulle contorsioni mentali di ieri sera.
Il succo è consistito nel modificare la mia lettura del tuo LACONICO testo: l'area "a" non è un parametro rispetto al quale massimizzare il volume, ma è una costante data; e la massimizzazione si fa sulle dimensioni.
Poi accendendo il PC e venendo sul sito ho visto che anche altri ne avevano trovate, e senza dover far lavorare il subcosciente per tutte le ore di sonno. Però, visto che l'ho pensata, te la scrivo egualmente.
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Solido composto
* a > 0
* h > 0
* r > 0
* volume V = (2/3)*π*r^3 + h*π*r^2 = (π/3)*(3*h + 2*r)*r^2
* area A = 2*π*r^2 + 2*h*π*r + π*r^2 = π*(2*h + 3*r)*r = a ≡
≡ h = (r/2)*(a/(π*r^2) - 3) > 0 ≡
≡ 0 < r < √(a/(3*π))
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Sostituendo "a" e "h" in V si esprime il volume in funzione solo di "r" e il massimo, se c'è, si trova col solito sistema monodimensionale: (V' = 0) & (V'' < 0).
* V = (π/3)*(3*h + 2*r)*r^2 =
= (π*r/3)*(3*(r - 2)*(r/2)*(a/(π*r^2) - 3) + (2*r - 9)*r) + a =
= (a/2)*r - (5*π/6)*r^3
* V' = a/2 - (5*π/2)*r^2
* V'' = - 5*π*r
* (V'(r) = 0) & (V''(r) < 0) & (0 < r < √(a/(3*π))) ≡
≡ (a/2 - (5*π/2)*r^2 = 0) & (- 5*π*r < 0) & (0 < r < √(a/(3*π))) ≡
≡ (r = √(a/(5*π))) & (- 5*π*√(a/(5*π)) < 0) & (0 < r < √(a/(3*π))) ≡
≡ (r = √(a/(5*π))) & (- √(5*π*a) < 0) & (0 < r < √(a/(3*π))) ≡
≡ r = √(a/(5*π))
da cui
* h = (√(a/(5*π)/2)*a/(π*(a/(5*π)) - 3) = √(5*a^3/(2*π))/(a - 15)
* V = (a/2)*√(a/(5*π)) - (5*π/6)*(√(a/(5*π)))^3 = √(a^3/(5*π))/3