Un solido, di volume 8 cm^3, è costituito da un cilindro e da due coni equilateri, esterni al cilindro e ognuno con una base in comune con il cilindro stesso. Trova il raggio di base in modo che sia minima la superficie del solido.
Un solido, di volume 8 cm^3, è costituito da un cilindro e da due coni equilateri, esterni al cilindro e ognuno con una base in comune con il cilindro stesso. Trova il raggio di base in modo che sia minima la superficie del solido.
Cono equilatero: diametro del cerchio di base = apotema.
Chiamiamo il raggio di base x; il diametro è 2x; l'apotema = 2x.
r = x;
h cono = rad[(2x)^2 - x^2) = rad(3x^2) = x * rad(3);
Volume cono = pigreco * x^2 * x rad(3) / 3;
Volume dei due coni = 2 * [ pigreco * x^2 * x rad(3) / 3];
Volume dei due coni = 2pigreco x^3 rad(3)/3;
V cilindro =pigreco x^2 * (h cilindro);
Non ho l'altezza del cilindro; dobbiamo ricavarla dal volume!
h = Volume cilindro / (Area base);
V cilindro = (8 cm^3) - 2pigreco x^3 rad(3)/3;
h cilindro = Volume / (pigreco * r^2)= [8 - 2pigreco x^3 rad(3)/3] / (pigreco x^2);
h cilindro = [8 / (pigreco x^2)] - [2 rad(3) x / 3] ;
Area laterale cono = circonferenza * apotema / 2 = 2 pigreco x * 2x / 2 = 2 pigreco x^2;
Area laterale dei due coni = 2 * (2 pigreco x^2) = 4 pigreco x^2;
Area laterale cilindro = 2 pigreco * x * h;
Area laterale cilindro = 2 pigreco * x * [8 / (pigreco x^2) - 2 rad(3) x / 3];
Area laterale cilindro = [16 /x] - [4 pigreco x^2 rad(3) / 3];
Area totale = 4 pigreco x^2 + [16 /x] - [4 pigreco x^2 rad(3) / 3];
Area totale = 16/x + 4 pigreco x^2 * [1 - rad(3)/3];
Area (x) = f(x), per quale valore del raggio x sarà minima?
Derivata prima di A(x):
f'(x) = - 16/x^2 + 4 pigreco * [1 - rad(3)/3] * 2x;
f'(x) = - 16/x^2 + 8 pigreco * [1 - rad(3)/3] x;
dividiamo per 8:
f'(x) = - 2/x^2 + pigreco * [1 - rad(3)/3] x;
f'(x) = 0;
pigreco * [1 - rad(3)/3] * x - 2/x^2 = 0;
moltiplichiamo per x^2;
x^3 pigreco * [3 - rad(3)] /3 - 2 = 0;
x^3 = 2 / [pigreco * (3 - rad(3) )/3 ];
x^3 = 2 * 3 / [pigreco * (3 - rad(3) )];
Moltiplichiamo sopra e sotto per 3 + rad(3)
x^3 = [1 / pigreco] * [ 6 * (3 + rad(3)] / [(3 - rad(3)) * (3 + rad(3)] ;
(3 - rad(3)) * (3 + rad(3) = 9 - 3 = 6;
x^3 = [1 / pigreco] * [ 6 * (3 + rad(3)] / 6;
x^3 = [1 / pigreco] * [3 + rad(3)] ;
x = radcubica [(3 + rad(3) / pigreco] ;
mi ero persa, ma ce l'ho fatta;
per il valore x = radice cubica [(3 + rad(3) / pigreco], la derivata prima si annulla; l'area laterale diventa minima. Speriamo sia un punto di minimo.
Bisogna studiare la funzione area laterale solido A(x) = 16/x + 4 pigreco x^2 * [1 - rad(3)/3];
La sua derivata:
A'(x) = - 2/x^2 + pigreco * [1 - rad(3)/3] x;
chiamiamo k = pigreco * [1 - rad(3)/3]
A'(x) = - 2/ x^2 + k x;
A'(x) < 0 per x < radcubica [(3 + rad(3) / pigreco]; A(x) decrescente;
A'(x) > 0 per x > radcubica [(3 + rad(3) / pigreco] ; A(x) crescente;
anche @stefanopescetto dice di sì, è un minimo.
Ciao @luigi2
remanzini_rinaldo ce l'ho fatta; avevo fatto errori di calcolo, come sempre. Le mie nipotine se ne sono andate dopo i festeggiamenti del 29 giugno per i Santi Pietro e Paolo, (avevamo molti onomastici in famiglia), così ho rifatto i calcoli. Mi piace questo problema geometrico. Ciao. Tu non hai qualche Pietro o Paolo da festeggiare?
Unità di misura: lunghezza, cm; superficie, cm^2; volume, cm^3.
Un cilindro con raggio di base r e altezza h ha volume V0 = π*h*r^2
Un cono con raggio di base r e altezza (√3)*r ha volume V1 = π*r^2/√3
Il solido descritto ha volume V = V0 + 2*V1 = π*(h + 2/√3)*r^2 = 8
da cui
* h = 8/(π*r^2) - 2/√3
* V0 = 8 - 2*π*r^2/√3
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La superficie da minimizzare è, con simboli analoghi a quelli dei volumi,
* S(r) = S0 + 2*S1 = 2*π*h*r + 2*π*r*2*r = 4*π*r^2 - 4*π*r/√3 + 16/r
da cui
* S'(r) = 4*(2*π*r - 4/r^2 - π/√3)
* S''(r) = 8*(4/r^3 + π)
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La condizione di minimo, con la restrizione geometrica, è
* (S'(r) = 0) & (S''(r) > 0) & (r > 0)
che non mi azzardo ad affrontare.