Un trapezio isoscele di perimetro $18 \mathrm{~cm}$ è circoscritto a un semicerchio il cui diametro è i $\frac{4}{5}$ della base maggiore del trapezio. Determina il rapporto fra i volumi dei solidi ottenuti facendo ruotare di $180^{\circ}$ il trapezio e il semicerchio intorno alla retta congiungente i punti medi delle basi.
Buon pomeriggio, qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi con questi due esercizi.
Grazie mille.
20
punti
Livello 0
Osservato che
D = 4/5 B significa r = 2/5 x
se poniamo pari a x la metà OB della base maggiore,
B = 2x e quindi r = 2/5 * 2x = 4/5 x
e per il Teorema di Pitagora, detto H l'estremo del raggio che cade su CB,
HB^2 = x^2 - (4/5 x)^2 = x^2 - 16/25 x^2 = 9/25 x^2
HB = 3/5 x
I triangoli rettangoli CKB ( K piede dell'altezza condotta da C ) e OHB
sono congruenti perché condividono l'angolo acuto in B
e inoltre OH = CK perché sono raggio e altezza del trapezio che é ancora
raggio. Da ciò segue subito che KB = HB = 3/5 x
e quindi b = B - 2 KB = 2x - 6/5 x = 4/5 x.
L = CB = OK = x ( si può calcolare anche come rad(CK^2 + KB^2) )
per cui la condizione sul perimetro si scrive
x + 2x + x + 4/5 x = 18
(4 + 4/5) x = 18
24/5 x = 18
x = 18*5/24 = 90/24 = 15/4
r = 4/5 x = 4/5 * 15/4 = 3 cm
Devo calcolare il rapporto tra il volume fra un semitronco di cono
e una semi - emisfera : questo é uguale al rapporto fra il
volume dell'intero tronco di cono e la semisfera
Vs = 2/3 pi r^3 = 2/3 pi 3^3 cm^3 = 18 pi cm^3
Il volume del tronco di cono, tralascio la dimostrazione che si farebbe
con gli integrali, o per differenza di due coni, é :
Vt = pi h/3 [ R^2 + Rr + r^2 ] =
= pi/3 * 3 [ x^2 + x * 2/5 x + 4/25 x^2 ] =
= pi x^2 [ 1 + 2/5 + 4/25 ] =
= pi 15^2/4^2 * (25 + 10 + 4)/25 =
= pi 225/16 * 39/25 =
= 39 pi * 9/16 cm^3
e finalmente il rapporto richiesto é
z = Vt/Vs = 39 pi * 9/16 : 18 pi =
= (39*9)/(16*18) = 39/16 * 1/2 =
= 39/32
45401
punti
Livello 7
