SIA AC UNA CORDA I UNA SEMICIRCONFERENZA DI DIAETRO AB UGUALE A 2r
sia D IL PUNTO D INTERSEZIONE DELLA SEMICIRCONFERENZA CON LA RETTA ad ABcondotta da C e siano H e K le proiezioni dei punti C e D sul diametro AB considera i due solidi che si ottengano facendo ruotare il rettangolo CDHK e il triangolo ACH di una rotazione attorno alla retta del diametro AB determinare l ampiezza dell angolo CAB in modo che i due solidi siano equivalenti
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Livello 2
Se vogliamo che il cono, generato dalla rotazione del triangolo rettangolo ACH attorno al diametro AB, sia equivalente (= stesso volume) al cilindro generato dalla rotazione del rettangolo CDHK sempre attorno al diametro, deve risultare:
H_cono = 3* H_cilindro
I due solidi hanno infatti la stessa superficie di base, un cerchio di raggio CH.
Il triangolo ACB, inscritto nella semicirconferenza è rettangolo in C e il diametro AB è l'ipotenusa. Quindi:
AC= 2r*cos x
Il triangolo ACH è rettangolo in H e AC è l'ipotenusa.
AH = 2r* cos² X
Quindi:
OH= AH - OA = 2r*cos² x - r =r*(2cos² x - 1)
Essendo CD // AB e i punti H, K le proiezioni dei punti C, D sul diametro:
Hk = 2*OH = 2r*(2cos² x - 1)
Quindi:
H_cono = AH = 2r* cos² x
H_cilindro = HK = 2r* (2cos² x - 1)
Imponendo la condizione richiesta si ottiene:
cos² x = 3*(2cos² x - 1)
5*cos² x = 3
Essendo 0<x<90 la soluzione accettabile è:
cos x = radice (3/5)
x= arccos (radice (3/5)) =~39 gradi
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Genius II
@stefanopescetto 👍👍👍
