[Risolto] solidi

Un cubo e un parallelepipedo rettangolo con le dimensioni lunghe rispettivamente 42 cm, 28 cm e 63 cm sono equivalenti. Qual è il rapporto tra l'area totale del cubo e l'area totale del parallelepipedo?

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$Parallelepipedo:$

volume $V= 42×28×63 = 74088~cm^3$:

area totale $At_p= 2(42×28+42×63+28×63) = 2(1176+2646+1764) = 2×5586 = 11172~cm^2$.

$Cubo~equivalente:$

volume $V= 74088~cm^3$;

spigolo $s= \sqrt[3]{74088} = 42~cm$;

area totale $At_c= s^2·6 = 42^2×6 = 10584~cm^2$;

Rapporto tra le aree totali del cubo e del parallelepipedo:

$R= \dfrac{10584}{11172} =\dfrac{10584 : (2^2·3·7^2)}{11172 : (2^2·3·7^2)} = \dfrac{10584 : 588}{11172 : 588} = \dfrac{18}{19}$.

Ora ho capito cos'era successo prima, l'area totale del parallelepipedo era metà e i numeri erano invertiti. 

Il rapporto x fra le aree totali del cubo di lato L e del parallepipedo rettangolo di spigoli 0 < a <= b <= c è
* x = 6*L^2/(2*(a*b + b*c + c*a)) = 3*L^2/(a*b + b*c + c*a)
se cubo e parallepipedo "sono equivalenti punto", cioè
* L^3 = a*b*c
allora
* x = 3*(a*b*c)^(2/3)/(a*b + b*c + c*a)
dalla quale, sostituendo i valori dati, si ha
* x = 3*(28*42*63)^(2/3)/(28*42 + 42*63 + 63*28) = 18/19