sistemi secondo grado

due diverse scatole di pennarelli costano entrambe 16 €, ma una di esse, la b, contiene due pennarelli più dell'altra scatola a ; ogni pennarello della  scatola a costa 0,40 € in più di ciascun pennarello della scatola b. quanti pennarelli contengono  le due scatole?

# chiamato n il numero di pennarelli della scatola a

# chiamato a il costo unitario di ogni pennarello della scatola a

....audemus dicere 😉 :

{n*a = 16

{(n+2)*(a-0,4) = 16

dalla prima si ha n = 16/a che sostituito nella seconda porta ad avere :

(16/a+2)(a-0,4) = 16

16+2a-6,4/a-0,8 = 16

moltiplico tutti i termini per a

16a+2a^2-6,4-0,8a = 16a 

2a^2-0,8a-6,4 = 0

a = (0,8+√0,8^2+4*2*6,4)/4 = 2,00 € / pennarello

n = 16/2 = 8 pennarelli

per la scatola b

n' = n+2 = 10 pennarelli

costo unitario = 16/10 = 1,6 € / pennarello

Costo scatola A=16 €

Costo scatola B=16 €

-------------------------------

Contenuto scatola A: n+2 pennarelli

Contenuto scatola B: n pennarelli

-----------------------------------

Costo di ogni singolo pennarello scatola A : x (in €)

Costo di ogni singolo pennarello scatola B: x+0.40 (in €)

-------------------------------

Deve quindi essere:

{(n + 2)·x = 16

{n·(x + 0.4) = 16

con n naturale

Procedo alla risoluzione per sostituzione:

x = 16/(n + 2) dalla prima, che inserita nella seconda:

n·(16/(n + 2) + 0.4) = 16

n·(2·(n + 42)/(5·(n + 2))) = 16

2·n^2 + 84·n = 80·n + 160

2·n^2 + 4·n - 160 = 0

n^2 + 2·n - 80 = 0------> (n - 8)·(n + 10) = 0------> n = -10 ∨ n = 8 (si scarta la prima)

x = 16/(8 + 2)------> x = 1.6 € costo di ogni singolo pennarello della scatola A

1.6+0.40=2€ costo di ogni singolo pennarello della scatola B

La scatola A contiene 8+2=10 pennarelli

La scatola B contiene 8 pennarelli

Deve risultare 

x y = 16

( x + 2 ) ( y - 0.4 ) = 16    con x in N e y > 0

Sviluppando la seconda

x y - 0.4 x + 2y - 0.8 = 16

16 - 0.4x + 2y = 16.8

- 0.4 x + 2 y = 0.8

- x + 5y = 2

x = 5y - 2

per cui

y (5 y - 2 ) - 16 = 0

5y^2 - 2y - 16 = 0

y = (1 + sqrt(1 + 80))/5 = (1 + 9)/5 = 2

da cui x * 2 = 16 => x = 8

Una scatola contiene 8 pennarelli da 2 euro ciascuno

l'altra 10 pennarelli da 1.60 euro ciascuno.