[Risolto] sistemi matematica

La differenza tra le misure dei cateti di un triangolo rettangolo è 5 cm. Se aumentiamo entrambi  i cateti di 1 cm, otteniamo un altro triangolo rettangolo la cui area supera di 8 cm2 l'area del primo triangolo. Quanto sono lunghi i due cateti? (risposta 10 cm e 5 cm) 

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Cateti 1° triangolo rettangolo:

$C= x;$

$c= x-5;$

cateti 2° triangolo rettangolo:

$C= x+1;$

$c= x-5+1 = x-4;$

equazione:

$\dfrac{x(x-5)}{2} = \dfrac{(x+1)(x-4)}{2} -8$

moltiplica tutto per 2:

$x(x-5) = (x+1)(x-4)-16$

$x^2-5x = x^2-4x+x-4-16$

$x^2-5x = x^2-3x-20$

$\cancel{x^2}-\cancel{x^2}-5x+3x = -20$

$-2x = -20$

$2x = 20$

$\dfrac{\cancel2x}{\cancel2} = \dfrac{20}{2}$

$x= 10$

risultati:

cateti 1° triangolo rettangolo:

$C= x= 10\,cm;$

$c= x-5 = 10-5 = 5\,cm.$

Dobbiamo scrivere il sistema:

{x - y = 5

{1/2·(x + 1)·(y + 1) = 1/2·x·y + 8

che fornisce soluzione: [x = 10 cm ∧ y = 5 cm]

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y = x - 5

(x + 1)·((x - 5) + 1) = x·(x - 5) + 16

(x + 1)·(x - 4) = x·(x - 5) + 16

x^2 - 3·x - 4 = x^2 - 5·x + 16

2·x = 20----> x = 10 cm

y = 10 - 5 = 5 cm

cateto maggiore = C

cateto minore = C-5 

area A = C*(C-5) = C^2-5C

(C+1)*(C-4) = C^2-5C+16 

C^2-4C+C-4 = C^2-5C+16

2C = 20

C = 10

c = 5 

Già risposto al link:

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/esercizio-matematica-45/#post-208127

La risolvente del problema è,detta c la misura del cateto minore,

(c+1)(c+6)/2 = 8 +  c(c+5)/2

c^2 + 7c + 6 = 16 + c^2 + 5c

7c - 5c = 16 - 6

2c = 10

c = 5

e il maggiore misura 5  +  5 = 10

La differenza tra le misure dei cateti di un triangolo rettangolo è 5 cm. Se aumentiamo entrambi  i cateti di 1 cm, otteniamo un altro triangolo rettangolo la cui area supera di 8 cm2 l'area del primo triangolo. Quanto sono lunghi i due cateti? (risposta 10cm e 5 cm). 

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Con sistema

Cateto maggiore $=x;$

cateto minore $= y;$

quindi per sostituzione:

$\left\{\begin{matrix}x-y=5 \\ \frac{(x+1)(y+1)}{2}=\frac{xy}{2}+8\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ (x+1)(y+1)=xy+16\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ (5+y+1)(y+1)=(5+y)y+16\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ (6+y)(y+1)=5y+y^2+16\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ 6y+6+y^2+y=5y+y^2+16\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ 7y+6+y^2=5y+y^2+16\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ 7y+y^2-5y-y^2=16-6\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ 7y+\cancel{y^2}-5y-\cancel{y^2}=10\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ 2y=10\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ \frac{2y}{2}=\frac{10}{2}\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=y+5 \\ y=5\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=5+5 \\ y=5\end{matrix}\right\}$

$\left\{\begin{matrix}x=10 \\ y=5\end{matrix}\right\}$