Sistemi lineari

Il determinante dei coefficienti del sistema è pari a:  2·b - a

Quindi il sistema è determinato (ed allora ammette una sola soluzione) se risulta:

2·b - a ≠ 0----> a ≠ 2·b oppure in maniera equivalente: b ≠ 1/2·a

In tal caso i coefficienti relativi alla y si mantengono in proporzione assieme a quelli della x e quindi il loro rapporto vale 1

Se si vuole che sia il sistema indeterminato tale rapporto si deve mantenere anche per i termini noti. Quindi deve essere verificato il sistema:

{2·b - a = 0

{- 2·b/(-a) = 1/(a + 2)

che risolto fornisce:  [a = -1 ∧ b = - 1/2]

Se si vuole un sistema impossibile:

{2·b - a = 0

{- 2·b/(-a) ≠ 1/(a + 2)

b = a/2 dalla prima.

- 2·(a/2)/(-a) ≠ 1/(a + 2)

a ≠ -1  e a=2b

Se si vuole che il sistema sia equivalente ad:

{5·x - 2·y = 3

{x + 2·y = 9

deve fornire la medesima soluzione: x = 2 ∧ y = 7/2

{x - 2·b·y = 1

{x - a·y = a + 2

x = - 2·b·(2·b + 1)/(a - 2·b) - 2·b + 1 ∧ y = (a + 1)/(2·b - a)

Quindi bisognerà porre:

{- 2·b·(2·b + 1)/(a - 2·b) - 2·b + 1 = 2

{(a + 1)/(2·b - a) = 7/2

lo risolvi ed hai: [a = 0 ∧ b = 1/7]