Sistemi frazionari

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Messo in bella con LateΧ:

$\small \begin{Bmatrix}{\dfrac{x+2y}{x-y}} & {=} & {4}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

lavora sulla 1° equazione:

$\small \begin{Bmatrix}{x+2y} & {=} & {4(x-y)}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{x+2y} & {=} & {4x-4y}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{x-4x} & {=} & {-4y-2y}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{-3x} & {=} & {-6y}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{3x} & {=} & {6y}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{\dfrac{\cancel3x}{\cancel3}} & {=} & {\dfrac{\cancel6^2y}{\cancel3_1}}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{x} & {=} & {2y}\\ {x^2+y^2+3x-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

trovata la x sostituiscila nella seconda con 2y:

$\small \begin{Bmatrix}{x} & {=} & {2y}\\ {(2y)^2+y^2+3·2y-2y} &{=} & {1}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{x} & {=} & {2y}\\ {4y^2+y^2+6y-2y-1} &{=} & {0}\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}{x} & {=} & {2y}\\ {5y^2+4y-1} &{=} & {0}\end{Bmatrix}$

la 2° equazione è di 2° grado completa per cui:

$\small a= 5; b= 4; c= -1;$

$\small \Delta= b^2-4ac = 4^2-(4·5·-1) = 16-(-20) = 16+20 = 36;$

$\small y_{1,2}= \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-4\pm\sqrt{36}}{2·5} = \dfrac{-4\pm6}{10};$

$\small y_1 = \dfrac{-4-6}{10} = \dfrac{-10}{10} = -1;$

$\small y_2 = \dfrac{-4+6}{10} = \dfrac{\cancel2^1}{\cancel{10}_5} = \dfrac{1}{5};$

quindi tornando al sistema, sostituisci la y trovata alla x della 1° equazione:

$\small x= 2y$

$\small x_1= 2·-1 = -2;$

$\small x_2 = 2·\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}$

Risultati:

$\small x= -2 ∧ \dfrac{2}{5};$

$\small y= -1 ∧ \dfrac{1}{5}.$