[Risolto] Sistemi equazioni di secondo grado

Ciao!

Per entrambi i sistemi possiamo tranquillamente usare il metodo di sostituzione andando poi a risolvere l'equazione di secondo grado che ci uscirà.

Esercizio 566

$\begin{cases} x-3y=4 \\ x^2-xy = 2 \end{cases}$

esplicitando la prima equazione abbiamo $y = \frac{x}{3}-\frac43$ e possiamo sostituirla nella seconda, ottenendo:

$x^2 -x( \frac{x}{3}-\frac43) -2 = 0 $

moltiplichiamo: $x^2-\frac{x^2}{3} +\frac43x -2 = 0 $

facciamo il minimo comune multiplo e liberiamoci del denominatore:

$\frac{3x^2-x^2+4x-6}{3} = 0 $

$3x^2-x^2+4x-6= 0 $

$2x^2+4x-6 = 0$

usiamo la formula di risoluzione: $x_{1,2} = \frac{ -4 \pm \sqrt{16+48}}{4} $

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{4} = \frac{-4 \pm 8}{4}$

$x_1 = 1$

$x_2 = -3$

da cui i corrispettivi valori di $y$:

$y_1 = \frac{x_1}{3}-\frac43 = \frac{1}{3}-\frac43 = -1 $

$y_2 = \frac{x_2}{3}-\frac43 = \frac{-3}{3}-\frac43 = -\frac73$

le coppie di soluzioni sono: $(1; -1)$ e $(-3; -\frac73)$

Esercizio 567

$\begin{cases} 2x-3 = y \\ 2x^2-3y = 2x+1 \end{cases} $

La prima equazione è già esplicitata in $y$: $y = 2x-3$

sostituiamo nella seconda:

$2x^2-3(2x-3) = 2x+1 $

$2x^2-6x+9 = 2x + 1 $

$2x^2 -8x +8 = 0$

dividiamo per $2$:

$x^2 -4x+4= 0$

che è un quadrato di binomio:

$(x-2)^2 = 0$ 

che ci dà come unica soluzione $x = 2$ (due soluzioni coincidenti).

Allora il valore della $y$ associata è: $y = 2x-3 = 2\cdot 2 -3 = 1 $

quindi la coppia soluzione del sistema è $(2; 1)$

Svolgo tali sistemi con il metodo della sostituzione, trovando un'incognita nella prima equazione e sostituirla nella seconda equazione.

566)

$\begin{cases} x-3y=4\\x^2-xy=2 \end{cases}$

$\begin{cases} x=4+3y\\x^2-xy=2 \end{cases}$

sostituendo si ottiene

$(4+3y)^2-(4+3y)y=2$

$y=-\frac{7}{3}$ 

$y=-1$

Risolvendo le equazioni con le ordinate trovate:

$x=4+3\left(-\frac{7}{3} \right)=-3$

$x=4+3(-1)=1$

Allora i punti sono:

$\left(-3;-\frac{7}{3} \right)  $

$(1;-1)$

567)

$\begin{cases} 2x-3=y\\2x^2-3y=2x+1 \end{cases}$

Sostituendo il valore y nella seconda equazione

$2x^2-3y=2x+1$

Risolvendo

$x=2$

Sostituendo nella prima equazione

$2 \cdot 2 -3=y$

Allora

$y=1$

Allora il punto è 

$(2;1)$

Esercizio 566: dalla prima equazione ricavi x=3y+4 e sostituisci nella seconda, la quale quindi risulta: (3y+4)^2 - y(3y+4)=2. Svolgendo risulta 9y^2+24y+16-3y^2-4y-2=0 --> 6y^2+20y+14=0. Le soluzioni di questa equazione di secondo grado in y sono y1=(-20+8)/12 e y2=(-20-8)/12 ovvero y1=-1 e y2=-7/3. le corrispondenti x1 e x2 le trovi dalla prima equazione: x1=3y1+4=-3+4=1 e x2=3y2+4=-7+4 = -3. Le soluzioni sono pertanto (1, -1) e (-3, -7/3)

Le intersezioni fra una conica
* Γ ≡ f(x, y) = a*x^2 + 2*b*x*y + c*y^2 + 2*d*x + 2*e*y + f = 0 [a*c != 0]
e una retta "r" si ricavano da un'equazione di secondo grado in una sola variabile.
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A) Se r ≡ x = k
* y^2 + (2*(b*k + e)/c)*y + (a*k^2 + 2*d*k + f)/c = 0
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B) Se r ≡ y = k
* x^2 + (2*(b*k + d)/a)*x + (c*k^2 + 2*e*k + f)/a = 0
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C) Se r ≡ y = m*x + q
* (a + 2*b*m + c*m^2)*x^2 + 2*(q*(b + c*m) + d + e*m)*x + (c*q^2 + 2*e*q + f) = 0
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ENTRAMBI GLI ESERCIZI ricadono nel caso C.
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566) retta & iperbole ≡ (x - 3*y = 4) & (x^2 - x*y = 2) ≡
≡ (y = (x - 4)/3) & (x^2 - x*(x - 4)/3 = 2) ≡
≡ ((2/3)*(x + 3)*(x - 1) = 0) & (y = (x - 4)/3) ≡
≡ ((x = - 3) oppure (x = 1)) & (y = (x - 4)/3) ≡
≡ (x = - 3) & (y = - 7/3) oppure (x = 1) & (y = - 1)
retta secante
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567) retta & parabola ≡ (2*x - 3 = y) & (2*x^2 - 3*y = 2*x + 1) ≡
≡ (y = 2*x - 3) & (2*x^2 - 3*(2*x - 3) - (2*x + 1) = 0) ≡
≡ (2*(x - 2)^2 = 0) & (y = 2*x - 3) ≡
≡ (x = 2) & (y = 1)
retta tangente
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Vedi i grafici e i paragrafi "Solution/s" ai link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-3*y%3D4%29%26%28x%5E2-x*y%3D2%29
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%282*x-3%3Dy%29%26%282*x%5E2-3*y%3D2*x%2B1%29