[Risolto] Sistemi di II grado

Secondo me, anche se gli ottimi @StefanoPescetto e @LucianoP hanno già risposto alla lettera della tua domanda, quello che sbagli è il modo con cui hai affrontato l'esercizio e poi il modo sbagliato ti ha indotto gli errorucci di calcolo.
Ti prego anticipatamente di scusarmi se, dopo una ventina d'anni che non tocco più una busta di elaborati da revisionare e valutare, qualcuno dei consigli impliciti in ciò che segue ti urterà perché troppo stiracchiato o addirittura campato in aria.
La mia impressione nell'osservare la successione dei tuoi passaggi
* ((1/2)*(x - y)^2 = 2) & (y = - 2*x) →
→ (1/2)*(x + 2*x)^2 = 2 ≡
≡ (1/2)*(x^2 - 4*x^2 + 4*x) = 2 ≡ (NB: errore di segno)
≡ (1/2)*x^2 - 2*x^2 + 2*x = 2 ≡
≡ x^2 - 4*x^2 + 4*x = 4 ≡
≡ - 3*x^2 + 4*x - 4 = 0
è stata che tu non ti sia curata di osservare le espressioni per trovare il modo di "svolgere quest'esercizio", ma che ti sia preoccupata di rammentare "come si svolgono esercizi di questo tipo"; questo è uno sbaglio tipico degli alunni a cui non sia stato spiegato bene che studiare matematica non vuol dire rammentare formule da applicare, ma vuol dire osservare con calma per scoprire configurazioni che consentano o di ridurre lo specifico problema ad uno più semplice o, nel peggiore dei casi, a spezzarlo in almeno due sottoproblemi ciascuno più semplice dell'originale.
Nel caso specifico di quest'esercizio le configurazioni che dovrebbero saltare agli occhi dell'alunno ben instradato sono: prima, il prodotto notevole "differenza di quadrati"; poi, la legge d'annullamento del prodotto; infine la proprietà distributiva della congiunzione (sistema) rispetto alla disgiunzione (radici distinte).
* (1/2)*(x - y)^2 = 2 ≡
≡ (x - y)^2 = 2*2 ≡
≡ (x - y)^2 - 2^2 = 0 ≡
≡ (x - y + 2)*(x - y - 2) = 0
da cui i passaggi (ne scrivo un po' più del necessario)
* ((1/2)*(x - y)^2 = 2) & (y = - 2*x) ≡
≡ ((x - y + 2)*(x - y - 2) = 0) & (y = - 2*x) ≡
≡ ((x + 2*x + 2)*(x + 2*x - 2) = 0) & (y = - 2*x) ≡
≡ ((3*x + 2)*(3*x - 2) = 0) & (y = - 2*x) ≡
≡ (3*(x + 2/3)*3*(x - 2/3) = 0) & (y = - 2*x) ≡
≡ ((x + 2/3)*(x - 2/3) = 0) & (y = - 2*x) ≡
≡ ((x = - 2/3) oppure (x = 2/3)) & (y = - 2*x) ≡
≡ (x = - 2/3) & (y = - 2*x) oppure (x = 2/3) & (y = - 2*x) ≡
≡ (x, y) = (- 2/3, 4/3) oppure (x, y) = (2/3, - 4/3) ≡
≡ (x, y) in {(- 2/3, 4/3), (2/3, - 4/3)}
CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%281%2F2%29*%28x-y%29%5E2%3D2%29%26%28y%3D-2*x%29

@Aurora_Lecchi

(x+2x) = 3x

(3x)² = 9x²

Oppure se vuoi fare il quadrato di un binomio 

(x+2x)² = x² + 4x² + 4*x*x = 9x²

Sbagli il segno del quadrato e il doppio prodotto

Quindi devi scrivere

9x² = 4

X=+2/3. oppure x= - 2/3

E poi ricavi i corrispondenti valori di y

(x-b)^2 = 5

(x+2x)^2 = 4

(x+2x) = 3x..... è un falso binomio : in realtà è un monomio  

9x^2 = 4

x = √4/9 = ± 2/3

ti è sfuggito il falso binomio e ti sei inutilmente infilata in una equazione di 2° grado con conseguenti errori di segno