sistemi di equazioni

@alessandra_di_giminiani

Ciao e benvenuta. Sistema di 2° grado:

{7·(x + 5)^2 - 9·(y + 4)^2 = 118

{x - y = 1

risolvo per sostituzione: y = x - 1

7·(x + 5)^2 - 9·((x - 1) + 4)^2 = 118

7·(x^2 + 10·x + 25) - 9·(x^2 + 6·x + 9) = 118

- 2·x^2 + 16·x + 94 = 118

x^2 - 8·x + 12 = 0

(x - 2)·(x - 6) = 0

x = 6 ∨ x = 2

Quindi:

y = 6 - 1----> y = 5-----> (6,5)

y = 2 - 1------> y = 1----> (2,1)

Verificato con WOLFRAMALPHA:

{7(x+5)²-9(y+4)² = 118}

{x-y = 1}

{7(x²+10x+25) -9(y²+8y+16) = 118}

{x = y+1}

{7x²+70x+175 -9y²-72y+144 = 118}

{x = y+1}

{7x²+70x -9y²-72y = 118-175+144}

{x = y+1}

{7x²+70x -9y²-72y = 87}

{x = y+1}

sostituisci la x nella prima equazione:

{7(y+1)²+70(y+1)-9y²-72y = 87}

{x = y+1}

{7(y²+2y+1)+70y+70 -9y²-72y = 87}

{x = y+1}

{7y² +14y +7 -2y +70 -9y² = 87}

{x = y+1}

{-2y² +12y = 87-70-7}

{x = y+1}

{-2y² +12y = 10}

{x = y+1}

dividi tutto per -2 nella prima:

{y² -6y = -5}

{x = y+1}

eguaglia a zero la prima:

{y² -6y +5= 0}  → a= 1; b= -6; c= 5; ∆= (-6)²-4·1·5 = 36-20 = 16; y₁,₂= [-(-6)±√16]/(2·1)] = (6±4)/2 per cui risulta: y₁= (6-4)/2= 1 e y₂= (6+4)/2 = 5;

sostituendo le y trovate nella seconda i valori di x risultano:

{x = y+1} → x₁= 1+1 = 2 e x₂= 5 +1 = 6

se sostituisci i valori trovati alle incognite del sistema originario vedrai che i risultati corrispondono con i due valori di x e di y.

x = y+1

7(y+6)^2 -9(y+4)^2 = 118

7y^2+252+84y-9y^2-144-72y = 118 

2y^2-12y+10 = 0

y = (12±√12^2-80)/4 = (12±8)/4 = 5 ; 1 

x = 1+y = 6 ; 2 

Le soluzioni del sistema
* (x - y = 1) & (7*(x + 5)^2 - 9*(y + 4)^2 = 118)
sono, nel riferimento Oxy, le coordinate dei due punti (non necessariamente reali e distinti) comuni alla retta "y = x - 1" e all'iperbole "((x + 5)/√(118/7))^2 - ((y + 4)/√(118/9))^2 = 1".
L'equazione risolvente è
* ((x + 5)/√(118/7))^2 - ((x - 1 + 4)/√(118/9))^2 - 1 = 0 ≡
≡ x^2 - 8*x + 12 = 0 ≡
≡ (x - 2)*(x - 6) = 0 ≡
≡ (x = 2) oppure (x = 6)
da cui i due punti comuni reali e distinti
* P(2, 1), Q(6, 5)
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx-y%3D1%2C7*%28x%2B5%29%5E2-9*%28y%2B4%29%5E2%3D118%5Dx%3D1to7%2Cy%3D0to6