[Risolto] Sistemi con disequazioni di grado superiore al secondo

{(x + 1)^3·(x^2 + 7)/(9·x - x^2) > 0

{5·x^2 - 2·x ≤ 3

equivale al sistema:

{(x + 1)/(9·x - x^2) > 0  (1)

{5·x^2 - 2·x - 3 ≤ 0   (2)

quindi:

Disequazione (1)

Segno N(x):

--------(-1)++++++++++++++++++>x

Segno D(x):

-----------------(0)++++(9)-------------->x

Segno rapporto:

++++(-1)-----(0)++++(9)-------------->x

soluzione:0 < x < 9 ∨ x < -1

Disequazione (2)

(x - 1)·(5·x + 3) ≤ 0

+++++[-3/5]------[1]+++++++++++>x

soluzione : - 3/5 ≤ x ≤ 1

Quindi:

{0 < x < 9 ∨ x < -1

{- 3/5 ≤ x ≤ 1

soluzione:

[0 < x ≤ 1]

Pretrattamento
* ((x^2 + 7)*(x + 1)^3/(9*x - x^2) > 0) & (5*x^2 - 2*x <= 3) ≡
≡ ((x^2 + 7)*(x + 1)^3/((9 - x)*x) > 0) & (5*x^2 - 2*x - 3 <= 0) ≡
≡ ((x^2 + 7)*(9 - x)*x*(x + 1)^3 > 0) & (x ∉ {0, 9}) & (- 3/5 <= x <= 1) ≡
≡ ((x^2 + 7)*(9 - x)*x*(x + 1)^3 > 0) & ((- 3/5 <= x < 0) oppure (0 < x <= 1))
Casistica
* (x^2 + 7)*(9 - x)*x*(x + 1)^3 > 0
è vera se e solo se dei quattro fattori ce n'è un numero pari (0, 2, 4) negativi.
Zero
* (x^2 + 7 > 0) & (9 - x > 0) & (x > 0) & ((x + 1)^3 > 0) ≡ (0 < x < 9)
* (0 < x < 9) & ((- 3/5 <= x < 0) oppure (0 < x <= 1)) ≡ (0 < x <= 1)
Quattro
* (x^2 + 7 < 0) & (9 - x < 0) & (x < 0) & ((x + 1)^3 < 0) ≡ (insieme vuoto)
* (insieme vuoto) & ((- 3/5 <= x < 0) oppure (0 < x <= 1)) ≡ (insieme vuoto)
Due (sei casi)
1) (x^2 + 7 < 0) & (9 - x < 0) & (x > 0) & ((x + 1)^3 > 0) ≡ (insieme vuoto)
2) (x^2 + 7 < 0) & (9 - x > 0) & (x < 0) & ((x + 1)^3 > 0) ≡ (insieme vuoto)
3) (x^2 + 7 < 0) & (9 - x > 0) & (x > 0) & ((x + 1)^3 < 0) ≡ (insieme vuoto)
4) (x^2 + 7 > 0) & (9 - x < 0) & (x < 0) & ((x + 1)^3 > 0) ≡ (insieme vuoto)
5) (x^2 + 7 > 0) & (9 - x < 0) & (x > 0) & ((x + 1)^3 < 0) ≡ (insieme vuoto)
6a) (x^2 + 7 > 0) & (9 - x > 0) & (x < 0) & ((x + 1)^3 < 0) ≡ (x < - 1)
6b) (x < - 1) & ((- 3/5 <= x < 0) oppure (0 < x <= 1)) ≡ (insieme vuoto)
Conclusione
* ((x^2 + 7)*(x + 1)^3/(9*x - x^2) > 0) & (5*x^2 - 2*x <= 3) ≡
≡ ((x^2 + 7)*(9 - x)*x*(x + 1)^3 > 0) & ((- 3/5 <= x < 0) oppure (0 < x <= 1)) ≡
≡ 0 < x <= 1
che è proprio il risultato atteso.