SISTEMA tra ellisse e retta.

{9·x^2 + 4·y^2 - 36 = 0

{y = m·(x - 2) + 1

----------------

9·x^2 + 4·(m·(x - 2) + 1)^2 - 36 = 0

9·x^2 + 4·(m·x - 2·m + 1)^2 - 36 = 0

9·x^2 + 4·(m^2·x^2 - 4·m^2·x + 2·m·x + 4·m^2 - 4·m + 1) - 36 = 0

x^2·(4·m^2 + 9) + 8·m·x·(1 - 2·m) + 16·(m^2 - m - 2) = 0

Δ/4 = 0

(4·m·(1 - 2·m))^2 - (4·m^2 + 9)·(16·(m^2 - m - 2)) = 0

(64·m^4 - 64·m^3 + 16·m^2) - (4·m^2 + 9)·(16·m^2 - 16·m - 32) = 0

(64·m^4 - 64·m^3 + 16·m^2) - (64·m^4 - 64·m^3 + 16·m^2 - 144·m - 288) = 0

144·m + 288 = 0----> m = -2

La retta verticale la devi mettere in conto.

Ciao, si certo che è possibile risolverlo senza le formule di sdoppiamento, basta che metti a sistema l'equazione dell'ellisse con il fascio di rette passanti er il punto, sostituisci y e imponi il discriminante uguale a zero. Le formule di sdoppiamento le puoi utilizzare solo se il punto appartiene alla conica, altrimenti non puoi, in questo caso il punto P(2,1) non appartiene, i coefficienti angolari saranno m=-2 e l'altra tangente sarà la retta non rappresentata dal fascio, ovvero x=x_p, x=2.

Risposte e considerazioni
"E' possibile risolverlo?": sì, ogni sistema si può risolvere.
"senza applicare la formula di sdoppiamento": condizione restrittiva superflua e discutibile.
Le "formule di sdoppiamento" (al plurale), applicate alla forma normale canonica di una conica Γ, servono a calcolare la retta polare di un dato punto P —il polo— rispetto a Γ.
"Come si risolve questo sistema": come al solito.
Prima si forma la risolvente sostituendo l'espressione di y data dall'equazione di grado uno al posto della variabile y nell'equazione di grado due, poi si massaggia la risolvente così formata fino a ottenere un'equazione monica di grado due, e infine a questa si applica la procedura risolutiva che Bramegupta pubblico nel VII secolo.
In questo caso, un sistema in {x, y} parametrico in m, anche le soluzioni risultano parametriche e su di esse si devono distinguere i casi significativi al variare del parametro.
"Retta tangente all'ellisse": fra i casi significativi è d'interesse quello in cui le due soluzioni si sovrappongono sull'unico punto T di tangenza, se esiste.
Risoluzione
* y = m*(x - 2) + 1 = m*x + (1 - 2*m)
è il fascio proprio di rette centrato sul sostegno S(2, 1), tranne la x = 2.
* 9*x^2 + 4*y^2 - 36 = 0 ≡ (x/2)^2 + (y/3)^2 = 1
è l'ellisse centrata sull'origine O(0, 0), di semiassi (a, b) = (2, 3) e vertici V1(- 2, 0), V2(0, - 3), V3(2, 0), V4(0, 3).
Il sistema
* (y = m*x + (1 - 2*m)) & ((x/2)^2 + (y/3)^2 = 1)
ha risolvente
* (x/2)^2 + ((m*x + (1 - 2*m))/3)^2 = 1 ≡
≡ (4*m^2 + 9)*x^2 - 8*m(2*m - 1)*x + 16*(m^2 - m - 2) = 0
che, per m = 0, dà le intersezioni non parametriche x = ± 4*√2/3, quindi non sovrapponibili; invece, per m != 0, ha discriminante —che si deve annullare per avere la tangenza—
* Δ(m) = 576*(m + 2) = 0 ≡ m = - 2
da cui la tangente
* y = 5 - 2*x
soluzione patentemente errata, per l'incompletezza dovuta al procedimento cretino prescritto dalla traccia.
Infatti l'esistenza di una tangente dimostra che S(2, 1) è esterno all'ellisse; ma la teoria delle coniche garentisce che le tangenti tirate alla conica da un punto esterno devono essere due; tuttavia questo procedimento non può trovare la seconda che è proprio la retta esclusa dal fascio.
Se invece si fosse usato il procedimento generico di intersecare la conica con la polare di S si sarebbero ottenuti entrambi i punti di tangenza così evitando l'errore.
In futuro pensaci bene prima di imporre superflue condizioni restrittive che magari, come in questo caso, conducono a un errore.