sistema paramedico es 560

{y = 2·√(x + 1)

{3·x - 2·y + k - 2 = 0

{-1 ≤ x ≤ 2

Risolvo la seconda in y (esplicito la retta)

y = (3·x + k - 2)/2---> y = 3·x/2 + (k - 2)/2

La retta rappresentata da tale equazione può essere tangente all'arco parabolico indicato dalla prima equazione secante in due punti od in un solo punto od esterna ad esso in base al valore di k indicato nella retta stessa.

Retta tangente

2·√(x + 1) = (3·x + k - 2)/2

√(x + 1) = (3·x + k - 2)/4

eleviamo al quadrato:

(3·x + k - 2)^2/16 - x - 1 = 0

(9·x^2 + 2·x·(3·k - 14) + k^2 - 4·k - 12)/16 = 0

9·x^2 + 2·x·(3·k - 14) + k^2 - 4·k - 12 = 0

Imponiamo:

Δ/4 = 0 condizione di tangenza

(3·k - 14)^2 - 9·(k^2 - 4·k - 12) = 0

304 - 48·k = 0---> k = 19/3

La retta tangente è:

y = (3·x + 19/3 - 2)/2

y = (9·x + 13)/6---> y = 3·x/2 + 13/6

Il punto di tangenza è dato da:

9·x^2 + 2·x·(3·(19/3) - 14) + (19/3)^2 - 4·(19/3) - 12 = 0

9·x^2 + 10·x + 25/9 = 0

(9·x + 5)^2/9 = 0

x = - 5/9

y = (9·(- 5/9) + 13)/6

y = 4/3

[- 5/9, 4/3]

Per valori superiori di k, la retta trasla verticalmente in alto e risulta esterna all'arco parabolico.

La retta passa dal vertice dell'arco parabolico [-1,0] in corrispondenza di:

3·(-1) - 2·0 + k - 2 = 0---> k - 5 = 0---> k = 5

per x=2 si ha:

y = 2·√(2 + 1) = 2·√3 quindi:

[2,2·√3]

3·2 - 2·(2·√3) + k - 2 = 0

k - 4·√3 + 4 = 0---> k = 4·√3 - 4 = 2.928 circa