sistema lineare con metodo di confronto

$ \left\{\begin{aligned} \frac{x}{3} + 4y &=5 \\-x+\frac{y}{2} &= -\frac{5}{2} \end{aligned} \right. $

Moltiplichiamo la seconda per 8

$ \left\{\begin{aligned} \frac{x}{3} + 4y &=5 \\-8x+4y &= -20 \end{aligned} \right. $

Ricaviamo 4 y da entrambe le equazioni

$ \left\{\begin{aligned} 4y &=5-\frac{x}{3} \\4y &=8x -20 \end{aligned} \right. $

Confrontiamo tra loro le due espressioni presenti alla destra di 4y. Si ha coì una semplice equazione nella variabile x

$ 5-\frac{x}{3} = 8x -20$

Moltiplichiamo ambo i membri per 3

$ 15 - x = 24x -60$

$ 25x =75$

$ x = 3$

Sostituendo il valore di x nella

$ 4x = 8x-20$

si ottiene

$ 4y = 4$

$y = 1$

La soluzione del sistema è x = 3  &  y = 1.

nota. Il metodo prevede di isolare una incognita ad esempio la y, noi per semplicità abbiamo isolato 4y su entrambe le equazioni, quindi abbiamo operato correttamente in confronto. 

89) Sistema con metodo del confronto:

$\small \begin{Bmatrix} 
\dfrac{1}{3}x+4y & = & 5 \\
-x+\dfrac{1}{2}y & = & -\dfrac{5}{2}
\end{Bmatrix}$

per il confronto ricava, per esempio, la x delle due equazioni:

$\small \begin{Bmatrix}
x+12y & = & 15 \\
x-\dfrac{1}{2}y & = & \dfrac{5}{2}
\end{Bmatrix}$

esplicita l'incognita scelta:

$\small \begin{Bmatrix}
x & = & 15-12y \\
x & = & \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}y
\end{Bmatrix}$

eguaglia le due equazioni ponendole al 1° posto e metti al 2° posto la più semplice, come segue:

$\small \begin{Bmatrix}
15-12y & = & \dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}y \\
x & = & 15-12y
\end{Bmatrix}$

lavora con la 1° equazione:

$\small \begin{Bmatrix}
30-24y & = & 5+y \\
x & = & 15-12y
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
-24y-y & = & 5-30 \\
x & = & 15-12y
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
-25y & = & -25 \\
x & = & 15-12y
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
\dfrac{\cancel{-25}y}{\cancel{-25}} & = & \dfrac{-25}{-25} \\
x & = & 15-12y
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
y & = & 1 \\
x & = & 15-12y
\end{Bmatrix}$

sostituisci la y trovata nella 2° equazione:

$\small \begin{Bmatrix}
y & = & 1 \\
x & = & 15-12×1
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
y & = & 1 \\
x & = & 3
\end{Bmatrix}$

moltiplichiamo la (1) per 3 

{  x+12y = 15

{ -x+y/2 = -5/2

sommiamo le due membro a membro :

25y/2 = 25/2

y = 25/25 = 1

x = 15-12 = 3 

1/3 x = 5 - 4y

x = 1/2 y + 5/2

x = 1/2 y + 5/2 = 15 - 12 y

12 y + 1/2 y = 15 - 5/2

24y + y = 30 - 5

25 y = 25

y = 1

e per sostituzione

x = 15 - 12 = 3

Verifica

x = 1/2 + 5/2 = 3