Sto provando a risolvere il seguente sistema:
{x+y=h
x+y=2h
x+y=3h
}
Fino ad ora ho trovato il rango della matrice A (incompleta) che e` = 1. Calcolano il rango della matrice completa AB utilizzando Sarrus si otterrebbe che e` = 1. Non capisco come procedere. Il sistema dovrebbe avere un'incognita libera?
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Livello 0
Sia $A \in M_{3\,,2}(\mathbb{K})$ la matrice incompleta. Il suo rango risulta
\[\text{rk}(A) = \text{rk}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1\,.\]
Il rango della matrice completa $(A \mid B) \in M_{3\,,3}(\mathbb{K})$ risulta
\[\text{rk}(A \mid B) = \text{rk}\begin{pmatrix} 1 & 1 & h \\ 1 & 1 & 2h \\ 1 & 1 & 3h \end{pmatrix} = 2\,,\]
in quanto le prime due righe sono linearmente indipendenti e la terza è una loro combinazione lineare.
Per il teorema di Rouché-Capelli il sistema è incompatibile, in quanto
\[\text{rk}(A \mid B) \neq \text{rk}(A)\,.\]
Per rispondere alla tua domanda, in questo caso non ha senso considerare il numero di gradi di libertà, in quanto non esiste nemmeno lo spazio vettoriale delle soluzioni.
P.S. Dimentica la regola di Sarrus.
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Livello 5
Intuitivamente
se h = 0 è indeterminato
altrimenti è impossibile
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Livello 7
