[Risolto] Sistema di grado superiore al secondo

Si tratta di un sistema omogeneo di secondo grado con termine noto.

Poni $y=t\cdot x$ (oppure $x=ty$) e sostituiscilo nelle due equazioni del sistema di partenza.

Raccogli $x^2$ ed ottieni

{$x^2(10-7t+t^2) = 12$

{$x^2(-3 + \dfrac{1}{2}t+ \dfrac{1}{2}t^2)=-6$

Dividi membro a membro per ottenere

$\dfrac{10-7t+t^2}{-3+ \dfrac{1}{2}t+ \dfrac{1}{2}t^2} = \dfrac{12}{-6}$

Non servono condizioni di esistenza in quanto denominatore nullo non è soluzione del sistema di partenza.

$-(10-7t+t^2) = 2(-3+ \dfrac{1}{2}t+ \dfrac{1}{2}t^2)$

Semplificando si ottiene

$t^2-3t +2 =0$

Risolvendo l'equazione si ottiene $t_{1,2} = 1,2$

Quindi $y = x$ e $y=2x$

Mettiamo a sistema le soluzioni con una delle due equazioni di partenza

{$y=x$

{$10x^2 -7xy +y^2=12$

La seconda coppia di soluzioni è data da 

{$y=2x$

{$10x^2 -7xy +y^2=12$

Ora si tratta di risolvere due sistemi banali. In tutto si trovano due coppie di soluzioni in x ed y per ogni sistema.

Il primo sistema ha come soluzioni $(x,y)$: $(\sqrt{3},\sqrt{3})$ , $(-\sqrt{3},-\sqrt{3})$.

Il secondo sistema non ha soluzione.

Quale meschina piaggeria trasmetti scrivendo "Qualcuno sa come risolverlo?", è proprio una figuraccia!
Se tu già non avessi saputo per certo che più d'uno di noi t'avrebbe mostrato "come risolverlo" mica avresti pubblicato la domanda, no? E allora perché questa ruffianeria di bassa lega?
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Il sistema
* (10*x^2 - 7*x*y + y^2 = 12) & (- 3*x^2 + x*y/2 + y^2/2 = - 6) ≡
≡ (x*y = (10*x^2 + y^2 - 12)/7) & (x*y = 6*x^2 - y^2 - 12) ≡
≡ (6*x^2 - y^2 - 12 = (10*x^2 + y^2 - 12)/7) & (x*y = 6*x^2 - y^2 - 12) ≡
≡ (y^2 = 4*x^2 - 9) & (x*y = 6*x^2 - (4*x^2 - 9) - 12) ≡
≡ ((y = - √(4*x^2 - 9)) oppure (y = √(4*x^2 - 9))) & (2*x^2 - x*y = 3) ≡
≡ (y = - √(4*x^2 - 9)) & (2*x^2 - x*y = 3) oppure (y = √(4*x^2 - 9)) & (2*x^2 - x*y = 3)
si sdoppia nell'unione di due più semplici.
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1) (y = - √(4*x^2 - 9)) & (2*x^2 - x*y = 3) ≡
≡ (y = - √(4*x^2 - 9)) & (2*x^2 - x*(- √(4*x^2 - 9)) = 3) ≡
≡ (y = - √(4*x^2 - 9)) & (x = - √3) ≡
≡ (y = - √(4*3 - 9) = - √3) & (x = - √3) ≡
≡ P(- √3, - √3)
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2) (y = √(4*x^2 - 9)) & (2*x^2 - x*y = 3) ≡
≡ (y = √(4*x^2 - 9)) & (2*x^2 - x*√(4*x^2 - 9) = 3) ≡
≡ (y = √(4*x^2 - 9)) & (x = √3) ≡
≡ (y = √(4*3 - 9)) & (x = √3) ≡
≡ Q(√3, √3)
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CONCLUSIONE
* (10*x^2 - 7*x*y + y^2 = 12) & (- 3*x^2 + x*y/2 + y^2/2 = - 6) ≡
≡ P(- √3, - √3) oppure Q(√3, √3)

Mi sembra di ricordare che si deve moltiplicare la seconda per 2 poi sommare per annullare il termine noto e sostituire quanto trovato al posto di una delle due.

Infine poni y = tx nell'equazione omogenea.

Purtroppo senza carta e penna non posso fare niente di più concreto.