Buongiorno a tutti, il mio prof ha svolto questo esercizio (IL PUNTO b). Allego tutto lo svolgimento. Il mio dubbio è nella parte finale dopo che trova v1(t) e v2(t) due soluzioni del sistema e disegna il ritratto di fase, come fa a dire che sono ellissi centrate nell'origine e come fa a disegnarle? Sicuramente ho qualche lacuna di geometria..
Grazie a chi risponderà
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Livello 2
Ti svolgo solo la prima perché l'altra é una variante di questa e puoi farla da sola
Vogliamo dimostrare che
{ x = - sin t + cos t
{ y = 2 sin t
sono le equazioni di una ellisse ruotata con centro nell'origine.
A tale scopo ricaviamo sin t e cos t
{ - sin t + cos t = x
{ sin t = y/2
cos t = x + sin t = x + y/2
e quindi per l'identità fondamentale della goniometria
sin^2(t) + cos^2(t) = 1
y^2/4 + (x + y/2)^2 = 1
Ponendo x' = x + y/2, y' = y
x'^2 + y'^2/4 = 1
é l'equazione canonica di una ellisse con centro in O in un riferimento ruotato opportuno.
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Livello 7
"come fa a dire che sono ellissi"
Eliminando il parametro dalle espressioni delle coordinate.
* (x = - sin(t)) & (y = cos(t) + 2*sin(t)) ≡
≡ (t = - arcsin(x)) & (y = - 2*x ± √(1 - x^2)) →
→ 2*x + y = ± √(1 - x^2) ≡
≡ (2*x + y)^2 - (1 - x^2) = 0 ≡
≡ 5*x^2 + 4*x*y + y^2 = 1
e questa è un'ellisse.
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"come fa a dire che sono centrate nell'origine"
Dall'assenza di termini lineari.
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"come fa a disegnarle"
Il segno del termine rettangolare è opposto a quello della pendenza dell'asse maggiore.
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NON HAI FATTO LA DOMANDA FONDAMENTALE
"come fa a riconoscerle?"
Prima di dire che sono ellissi bisogna accorgersene e questo avviene vedendo entrambe le coordinate espresse come combinazioni lineari di seno e coseno di uno stesso parametro.
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Genius I
@exprof 👍
