{x^2 + y^2 = 25
{y = (x - 5)^2
Ammette due soluzioni reali e due complesse:
[x = 3 ∧ y = 4, x = 5 ∧ y = 0, x = 6 + 2·i ∧ y = -3 + 4·i, x = 6 - 2·i ∧ y = -3 - 4·i]
--------------------------------
Dalla 1^: y^2 = 25 - x^2
Eleviamo al quadrato la seconda:
y^2 = (x - 5)^4
(operazione che necessita di verifica sulle eventuali soluzioni che si otterranno)
Per confronto:
25 - x^2 = (x - 5)^2
(x + 5)·(5 - x) = (x - 5)^2
Verificata per x = 5 ∨ x = 0
Per x= 5:
y = (5 - 5)^2----> y = 0
che verifica il sistema iniziale:
{5^2 + y^2 = 25
{y = (5 - 5)^2
Quindi (5,0) è una soluzione.
Per x=0:
{0^2 + y^2 = 25------> y = -5 ∨ y = 5
{y = (0 - 5)^2--------> y = 25
Il sistema non è verificato!
Procediamo per sostituzione:
x^2 + ((x - 5)^2)^2 = 25
x^2 + (x^2 - 10·x + 25)^2 = 25
x^4 - 20·x^3 + 151·x^2 - 500·x + 600 = 0
Abbassiamo di grado sapendo che x ) 5 è una soluzione
(x^4 - 20·x^3 + 151·x^2 - 500·x + 600)/(x - 5) =
=x^3 - 15·x^2 + 76·x - 120
Quindi cerchiamo uno zero del quadrinomio trovato: se prendiamo x=3 (ed in corrispondenza y=4 in modo tale che 3^2+4^2=25 otteniamo verificate le 2 equazioni poste. In ogni caso:
3^3 - 15·3^2 + 76·3 - 120 = 0
Quindi il quadrinomio si può dividere per (x-3)
(x^3 - 15·x^2 + 76·x - 120)/(x - 3) = x^2 - 12·x + 40
Ci si ferma qui in quanto il discriminante è <0-
Ciao. Ho completato il post. Dacci un'occhiata. Quando è possibile, come in questo caso, conviene sempre interpretare graficamente il sistema (almeno per avere un'idea di dove siano le intersezioni fra i luoghi geometrici proposti)
159;
Sistema;
xy = 2; (1)
y = x^2 - 2x + 1; (2)
xy = 2; (1)
y = (x - 1)^2; (2) quadrato di binomio.
Sostituiamo la (2) nella (1) :
x (x - 1)^2 = 2; (1)
x (x^2 - 2x + 1) - 2 = 0; (1)
risolviamo la (1);
x^3 - 2x^2 + x - 2 = 0; raccogliamo a fattori parziali:
x^2 (x - 2) + (x - 2) = 0; (1) raccogliamo (x - 2);
(x - 2) (x^2 + 1) = 0;
x - 2 = 0;
x = 2;
2 y = 2;
y = 1;prima soluzione;
x^2 + 1 = 0; se x^2 = - 1; impossibile;
(x^2 + 1) non si annulla, sempre positivo;
una sola soluzione reale: x = 2; y = 1.
Ciao @hatoma
160) (x^2 + y^2 = 25) & (y = (x - 5)^2) ≡
≡ (y^2 = 25 - x^2) & (y^2 = (x - 5)^4) ≡ NB: la quadratura può introdurre soluzioni spurie, serve la verifica.
≡ (y^2 = 25 - x^2) & (y^2 = (x - 5)^4)
da quest'ultima forma si ha la risolvente
* (x - 5)^4 - (25 - x^2) = 0 ≡
≡ x^4 - 20*x^3 + 151*x^2 - 500*x + 600 = 0
che, se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i 48 divisori del termine noto
* {± 1, ± 2, ± 3, ..., ± 200, ± 300, ± 600}
con qualche valutazione fra i vicini dello zero, nella forma economica (solo tre moltiplicazioni)
* p(x) = (((x - 20)*x + 151)*x - 500)*x
si trova che
* p(3) = p(5) = 600
da cui la scomposizione
* (x - 3)*(x - 5)*(x^2 - 12*x + 40) = (x - 3)*(x - 5)*(x - (6 - 2*i))*(x - (6 + 2*i))
che individua le soluzioni reali
* (x = 3) & (y = 4) oppure (x = 5) & (y = 0)
le quali, provenendo dalle valutazioni di p(x), non possono essere spurie; e le soluzioni complesse
* (x = 6 - 2*i) & (y = - 3 - 4*i) oppure (x = 6 + 2*i) & (y = - 3 + 4*i)
sulle quali invece occorre la verifica (ma te ne lascio tutto il piacere).