Sistema con molla e due masse

Con riferimento alla figura di sopra diciamo η e μ le velocità dei carrellini raggiunte dopo un tempo pari a t= 1.6 s.

Tali velocità sono legate al principio di conservazione della quantità di moto iniziale del sistema che è nulla e quindi nulla deve anche essere al tempo t =1.6 s:

1.9·η + 1.2·μ = 0 ove i coefficienti dell'equazione sono le due masse dei carrellini.

Il secondo carrellino ha un'accelerazione pari a:

a = μ/1.6 che da un punto di vista cinematico è legata al rapporto tra la velocità ed il tempo per raggiungere tale velocità.

Si sa inoltre lo spazio percorso dal carrellino per raggiungere tale velocità e che è legato ad un moto uniformemente accelerato:

s = 1/2·a·t^2------> 1.3 = 1/2·μ/1.6·1.6^2----> 13/10 = 4·μ/5

quindi: μ = 13/8 m/s   (μ = 1.625 m/s)

Quindi determiniamo pure l'altra velocità del primo carrellino:

1.9·η + 1.2·1.625 = 0------> η = - 39/38 m/s  negativa perché diretta verso sinistra.

(η = -1.0263 m/s)

Per il primo carrellino si ha:

a = η/1.6 e quindi: s = 1/2·η/1.6·1.6^2= 1/2·(- 39/38)/1.6·1.6^2 

Quindi lo spazio percorso dal secondo carrellino è: s = - 78/95 m = -0.821 m circa

(cioè il primo carrellino si è spostato in senso opposto al secondo di circa la metà)

per quanto riguarda la compressione della molla iniziale possiamo dire che è ottenibile dal principio di conservazione dell'energia meccanica del sistema. 

All'istante iniziale si ha:

1/2·k·x^2 = energia immagazzinata nella molla (solo)

Dopo t=1.6 s si ha una energia cinetica complessiva pari a:

1/2·1.9·η^2 + 1/2·1.2·μ^2

Quindi, inserendo i dati:

135·x^2 = 19·η^2/20 + 3·μ^2/5

135·x^2 = 19·(- 39/38)^2/20 + 3·(13/8)^2/5

135·x^2 = 15717/6080-------> x = - 13·√589/2280 ∨ x = 13·√589/2280

cioè x = 0.1384 m circa 13.8 cm