[Risolto] Sistema a 3 incognite 2 superiore

Carino, due equazioni di grado due e una di grado uno: 2*2*1 = 4, nella soluzione si devono trovare quattro triple compatibili.
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1) x + y + z = 6 ≡ (x + y) = 6 - z
2) x*y + y*z + x*z = 11 ≡ x*y = 11 - (x + y)*z = z^2 - 6*z + 11
3) x^2 + y^2 = 13 ≡ (x + y)^2 - 2*x*y = 13 ≡ x*y = ((x + y)^2 - 13)/2 = (z^2 - 12*z + 23)/2
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2 & 3) Dalle due espressioni di x*y si ha
* z^2 - 6*z + 11 - (z^2 - 12*z + 23)/2 = 0 ≡
≡ (z^2 - 1)/2 = 0 ≡
≡ (z = - 1) oppure (z = 1)
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1 & 2) Per z = - 1
* (x + y = 6 - z) & (x*y = z^2 - 6*z + 11) ≡
≡ (x + y = 7) & (x*y = 18) ≡
≡ (x, y, z) ∈ {((7 - i*√23)/2, (7 + i*√23)/2, - 1), ((7 + i*√23)/2, (7 - i*√23)/2, - 1)}
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1 & 2) Per z = + 1
* (x + y = 6 - z) & (x*y = z^2 - 6*z + 11) ≡
≡ (x + y = 5) & (x*y = 6) ≡
≡ (x, y, z) ∈ {(2, 3, 1), (3, 2, 1)}
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SOLUZIONE
* (x, y, z) ∈ {(2, 3, 1), (3, 2, 1), ((7 - i*√23)/2, (7 + i*√23)/2, - 1), ((7 + i*√23)/2, (7 - i*√23)/2, - 1)}
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NOTA
La soluzione dei sistemi della forma
* (x + y = s) & (x*y = p)
consiste delle radici dell'equazione
* u^2 - s*u + p = 0
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VERIFICA nei paragrafi "... solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28x%3D6-y-z%29%26%28x*y%3D11-y*z-x*z%29%26%28x%5E2%3D13-y%5E2%29

{x+y=5

{xy=6