[Risolto] Sistema

PER SOSTITUZIONE
* (x - y + 2*z = - 1) & (2*x + y - z = 2) & (x - 2*y + 3*z = 1) ≡
≡ (x = - 1 - (- y + 2*z)) & (2*(- 1 - (- y + 2*z)) + y - z - 2 = 0) & (- 1 - (- y + 2*z) - 2*y + 3*z - 1 = 0) ≡
≡ (z - y - 2 = 0) & (x = y - 2*z - 1) & (3*y - 5*z - 4 = 0) ≡
≡ (z = y + 2) & (x = y - 2*(y + 2) - 1) & (3*y - 5*(y + 2) - 4 = 0) ≡
≡ (y + 7 = 0) & (z = y + 2) & (x = - (y + 5)) ≡
≡ (y = - 7) & (z = - 7 + 2) & (x = - (- 7 + 5)) ≡
≡ (x = 2) & (y = - 7) & (z = - 5)
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PER SOMMA E DIFFERENZA
Con la combinazione lineare è la "riduzione di Gauss", e così la intendo.
Riscrivo in forma canonica le tre equazioni date in forma standard
* (x - y + 2*z = - 1) & (2*x + y - z = 2) & (x - 2*y + 3*z = 1) ≡
≡ (x - y + 2*z + 1 = 0) & (x - 2*y + 3*z - 1 = 0) & (2*x + y - z - 2 = 0)
e le nomino (A, B, C) da sinistra a destra intendendo la posizione e non l'equazione (cioè se porto la terza al primo posto il suo nome muta da C ad A).
Indico la singola "mossa di Gauss" con "B ⇐ m*B ± n*A".
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1) B ⇐ B - A
* (x - y + 2*z + 1 = 0) & (x - 2*y + 3*z - 1 = 0) & (2*x + y - z - 2 = 0) ≡
≡ (x - y + 2*z + 1 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (2*x + y - z - 2 = 0)
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2) C ⇐ C - 2*A
* (x - y + 2*z + 1 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (2*x + y - z - 2 = 0) ≡
≡ (x - y + 2*z + 1 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 3*y - 5*z - 4 = 0)
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3) A ⇐ A - B
* (x - y + 2*z + 1 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 3*y - 5*z - 4 = 0) ≡
≡ (x + 0*y + z + 3 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 3*y - 5*z - 4 = 0)
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4) C ⇐ C + 3*B
* (x - y + 2*z + 1 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 3*y - 5*z - 4 = 0) ≡
≡ (x + 0*y + z + 3 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 0*y - 2*z - 10 = 0)
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5) A ⇐ A + C/2
* (x + 0*y + z + 3 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 0*y - 2*z - 10 = 0) ≡
≡ (x + 0*y + 0*z - 2 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 0*y - 2*z - 10 = 0)
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6) B ⇐ B + C/2
* (x + 0*y + 0*z - 2 = 0) & (0*x - y + z - 2 = 0) & (0*x + 0*y - 2*z - 10 = 0) ≡
≡ (x + 0*y + 0*z - 2 = 0) & (0*x - y + 0*z - 7 = 0) & (0*x + 0*y - 2*z - 10 = 0)
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7) Esibire la soluzione
* (x - y + 2*z = - 1) & (2*x + y - z = 2) & (x - 2*y + 3*z = 1) ≡
≡ (x + 0*y + 0*z - 2 = 0) & (0*x - y + 0*z - 7 = 0) & (0*x + 0*y - 2*z - 10 = 0) ≡
≡ (x = 2) & (y = 7) & (z = 5)
AHI, AHI, AHI, AHI, AHI!
Da qualche parte ho avuto una botta di vecchiaia sui segni.
Ti tocca rivedere i passaggi, io il metodo te l'ho illustrato; non mi metto a rifare i conti.

Metodo della sostituzione

x - y + 2·z = -1

{2·x + y - z = 2

{x - 2·y + 3·z = 1

soluzione: [x = 2 ∧ y = -7 ∧ z = -5]

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Dalla 1^: y = x + 2·z + 1

che sostituiamo nella 2^ e nella 3^:

{2·x + (x + 2·z + 1) - z = 2

{x - 2·(x + 2·z + 1) + 3·z = 1

Quindi:

{3·x + z = 1

{x + z = -3

Dalla 2^:

x = -z - 3

che sostituiamo nella 1^:

3·(-z - 3) + z = 1

- 2·z - 9 = 1----> z = -5

Per sostituzione:

x = -(-5 )- 3------> x = 2

Per sostituzione:

y = 2 + 2·(-5) + 1----> y = -7

In definitiva: soluzione sistema: [x = 2 ∧ y = -7 ∧ z = -5]