Si consideri la famiglia di funzioni $f_n(x)=2-\frac{3}{x}+\frac{3}{x^n}$ con $n \in \mathbb{N}$ e $n>1$.
a) Verificare che tutte le curve rappresentate dalle funzioni della famiglia $f_n(x)$ passano per uno stesso punto e scrivere le sue coordinate. Determinare, in funzione del parametro $n$, le ascisse degli estremi e dei flessi e calcolarne il limite, con $n \rightarrow \infty$. Scrivere le equazioni degli asintoti e tracciare i grafici delle funzioni $f_n$, evidenziando le differenze tra i casi in cui $n$ è pari da quelli in cui $n$ è dispari.
b) Si assuma $n=3$, studiare la funzione $f_3(x)$ e si tracciare un suo grafico rappresentativo, dimostrando che ammette un unico zero di segno negativo. Discutere, al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$, il numero e il segno delle soluzioni dell'equazione $f_3(x)=k$.
c) Si consideri la funzione $g(x)=2-\frac{3}{x}$ e verificare che, $\forall x>0$, vale la disuguaglianza $f_n(x)>g(x)$, indipendentemente dal valore di $n$. Si consideri l'integrale
$$
I(t)=\int_1^t\left(f_n(x)-g(x)\right) d x,
$$
che esprime l'area della regione delimitata dai grafici delle funzioni $f_n$ e $g$ e dalle rette di equazioni $x=1$ e $x=t, t>1$. Si calcolino $I(t)$ e il $\lim _{t \rightarrow+\infty} I(t)$, fornendo un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.
d) Calcolare il $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f n(x)-2}{g(x)-2}$ e verificare che il risultato non dipende da $n \in N, n>1$.
