[Risolto] simmetrie assiali

a. Vincoli indotti dalla simmetria assiale

La simmetria assiale è soddisfatta se in punti P(x, y) e il loro trasformati P'(x', y') godono delle seguenti proprietà.

• I punti medi $ M(\frac{x+x'}{2}, \frac{y+y'}{2}) $ sono punti della retta $r: y = -\frac{x}{2}$.  Sostituendo le coordinate di M nell'equazione di r: ricaviamo

$2y+2y' = -x-y $ 

$2y+x = -2y'-x' $     (1)

• Il segmento PP' deve giacere sulla perpendicolare alla retta r:

$ m_r = -\frac{1}{2} \quad \implies \quad m_{PP'} = 2$

$ m_{PP'} = \frac {y'-y}{x'-x} $ 

$ y = y'-2x'+2x $    (2)

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b. Trasformazione inversa   

Si deve risolvere il sistema composto dalla (1) e dalla (2) nelle incognite x, y in funzione delle variabile (x', y'). Dopo qualche passaggio si ottiene:

$\left\{\begin{aligned} x &= \frac{3}{5}x' - \frac{4}{5}y' \\ y &=  -\frac{4}{5}x' - \frac{3}{5}y' \end{aligned} \right. $

.

c.  Calcolo della trasformata

Applichiamo la trasformazione inversa alla retta y = -2x + 3

$ -\frac{4}{5}x' - \frac{3}{5}y' = -2(\frac{3}{5}x' - \frac{4}{5}y') + 3$

$ 2x' -11y' = 15 $

Confrontiamola con il grafico.

Non posso svolgere i calcoli da telefono.

Però posso suggerirti di fissare due punti sulla retta originaria e poi scrivere la retta che unisce i loro trasformati.

https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/6226-simmetria-assiale.html