[Risolto] Similitudine: teoremi delle corde, delle secanti e della tangente

Con riferimento alla figura allegata:

I triangoli ACE e BCD sono SIMILI in quanto hanno angolo in comune  γ in C ed α e β in E ed in B congruenti  in quanto angoli alla circonferenza che insistono sul medesimo arco AD

Quindi per tali triangoli vale la proporzione:

BC : CE = CD : AC

(anche teorema delle secanti: “ se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano 2 secanti allora un’intera secante e la sua parte esterna formano i medi, l’altra intera secante e la sua parte esterna formano gli estremi di una proporzione”:   BC   :  CE = CD  : AC )

Quindi:

(2·r + a)/(2·a + 2·a) = 2·a/a------  > (a + 2·r)/(4·a) = 2-----  > r = 7·a/2

Area triangolo DOE

= con Erone

p = (2·a + 7/2·a + 7/2·a)/2------  > p = 9·a/2

p-2a =9/2·a - 2·a = 5·a/2

p-7/2 a=9/2·a - 7/2·a = a

A (DOE)= √(7/2·a·5/2·a·a^2) = √35·a^2/2

Area triangolo ACD

Considero i triangoli OCD ed il triangolo ACD: essi hanno la stessa altezza h per cui si può dire che le loro aree sono proporzionali alle loro basi.

Area triangolo ODC

= con Erone

p =(2·a + 7/2·a + (a + 7/2·a))/2 = 5·a

5·a - 2·a = 3·a

5·a - 7/2·a = 3·a/2

5·a - 9/2·a = a/2

Area ODC = √(5·a·(3·a)·(3/2·a)·(a/2)) = 3·√5·a^2/2

Quindi area ACD=3·√5·a^2/2·(a/(9/2·a)) = √5·a^2/3

AD = corda; 

R = 3,5 a;

Punto 3)  Area ACD;

Triangolo OCD; conosciamo i tre lati:

OC = 4,5 a;

OD = 3,5 a ;

CD = 2a;

Area OCD con la formula di Erone;

semiperimetro: p = (2a + 3,5 a + 4,5 a) / 2 = 10a/2 = 5a,

A=√[p(p-a)(p-b)(p-c)];

area (OCD) = radice[5a * (5a - 2a) * (5a - 3,5 a) * (5a - 4,5 a)];

area(OCD) = radice[5a * 3a * 1,5 a * 0,5 a) = radice(11,25 a^4);

area(OCD) = 3,35 a^2;

altezza DK del triangolo OCD:

DK = area * 2 / OC = 3,35 a^2 * 2 / 4,5a = 1,49 a;

DK è anche l'altezza del triangolino ACD che ha per base AC = a;

Area (ACD) = AC * DK / 2 = a * 1,49 a / 2 = 0,745a^2.

non so se ho fatto bene. (Sì, i calcoli sono giusti).

Ciao @ilariamontanari

Provo una risoluzione analitica, visto che di sintetiche ne devi due @mg e @LucianoP ai quali ho già clickato un cuoricino per esprimergli la mia ammirazione per la loro pazienza.
PER FAVORE: prima di scrivermi una frasetta da ditino alzato, considera che anche Manzoni usava lo "gli" per riferirsi a più d'uno ("Chi si cura di costoro a Milano? Chi gli darebbe retta?"), e pure Verga ("le belle ragazze di qui non sono degne di portargli le scarpe, a quelle di Napoli").
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Apporto una sola variante: dove c'è un solo parametro io lo chiamo k, non a.
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Istituisco un riferimento cartesiano con origine in C(0, 0) e, nel primo quadrante, la retta y = m*x su cui sono allineati con C anche
* D(2*k/√(m^2 + 1), 2*k*m/√(m^2 + 1))
* E(4*k/√(m^2 + 1), 4*k*m/√(m^2 + 1))
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L'asse del segmento DE
* y = (3*k*√(m^2 + 1) - x)/m
interseca l'asse x nel centro O(3*k*√(m^2 + 1), 0) della circonferenza Γ che ha raggio
* r = |OD| = |OE| = k*√(9*m^2 + 1)
da cui
* Γ ≡ (x - 3*k*√(m^2 + 1))^2 + y^2 = (k*√(9*m^2 + 1))^2
* A(3*k*√(m^2 + 1) - 3*k*√(m^2 + 1/9), 0)
* B(3*k*√(m^2 + 1) + 3*k*√(m^2 + 1/9), 0)
* |CA| = xA = 3*k*√(m^2 + 1) - 3*k*√(m^2 + 1/9) = k ≡ m = √5/2
quindi
* D(4*k/3, 2*k*√5/3)
* E(8*k/3, 4*k*√5/3)
* O(9*k/2, 0)
* Γ ≡ (x - 9*k/2)^2 + y^2 = (7*k/2)^2
* A(k, 0)
* B(8*k, 0)
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) la misura del raggio della circonferenza
* r = 7*k/2
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2) l'area del triangolo DOE
* S(DOE) = (3*√5/2)*k^2
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3) l'area del triangolo ACD
* S(ACD) = (√5/3)*k^2