Il cateto $B C$ di un triangolo rettangolo è il triplo del cateto $A B$. Prolunga $A B$ di un segmento $B E$ uguale a $A B$; da E traccia la perpendicolare all'ipotenusa $A C$ e sia $D$ il punto di intersezione.
- Troval'area di $A B C$, sapendo che quella di ADE è 60
- Qual è la lunghezza di $A B$ ?
- Detto $\mathrm{F}$ il punto di intersezione di $\mathrm{BC}$ e $\mathrm{DE}$, trova la lunghezza di $\mathrm{DF}$.
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Livello 0
Fare riferimento alla figura allegata sopra.
In essa si evidenziano triangoli rettangoli simili fra loro il cui rapporto fra i due cateti è pari ad 1/3.
Per il triangolo rettangolo ABC:
AB=x; BC=3x
AC=√(x^2 + (3·x)^2) = √10·x = misura dell'ipotenusa
Per il triangolo ADE abbiamo:
ΑΕ = 2·x = misura dell'ipotenusa
Il rapporto fra le due misure dell'ipotenusa, costituisce il coefficiente di similitudine fra i triangoli ABC ed il triangolo ADE:
k = √10·x/(2·x)----> k = √10/2
Per le aree il rapporto diverrà pari a k^2, quindi:
k^2 = (√10/2)^2----> k^2 = 5/2
Quindi S(ABC)=5/2*S(ADE)=s = 5/2·60 = 150
Misura di AB
150 = 1/2·x·(3·x)-----> x = -10 ∨ x = 10 = AB
Ne consegue che AD= 1/k·10 = 1/(√10/2)·10 = 2·√10
Considero ora il triangolo rettangolo simile ai precedenti DFC: il rapporto fra i cateti risulta sempre pari ad 1/3
DC = AC - AD= 10·√10 - 2·√10 = 8·√10
DF = 1/3·DC = 1/3·8·√10----> DF =8·√10/3
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Genius II
