[Risolto] Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa BC. Prolunga il cateto AB, dalla parte di A, di un segmento AP congruente ad AB e l’ipotenusa BC, dalla parte di C, di un segmento CQ congruente a BC. Dimostra che CP̂ Q è congruente a PQ̂ C.

Prima di tutto, confrontiamo i triangoli ABC e APC

PA sappiamo che è uguale a AB, quindi hanno stessa altezza. In più hanno la stessa base AC e anche l'angolo di 90⁰ dato che entrambi sono triangoli rettangoli. 

Quindi per primo principio, sono congruenti e di conseguenza l'ipotenusa BC = PC 

Adesso prendiamo i triangoli APC e PCH

Possiamo notare che sono contenuti in un rettangolo APHC e in più sappiamo che un triangolo ha l'area uguale alla metà di un rettangolo (b*h/2), quindi possiamo già concludere che i triangoli APC e PCH sono congruenti e di conseguenza sappiamo che i lati dei triangoli sono uguali tra loro (ABC=ACP=PCH)

Adesso confrontiamo i triangoli rettangoli PCH e CHQ

Hanno la stessa altezza (CH) che è uguale anche al segmento CH=AP=AB

E CQ è uguale a BC e dato che questi lati provengono dai prolungamenti del triangolo originale, hanno anche lo stesso angolo che si forma tra l'altezza e l'ipotenusa sia del triangolo ABC sia dell'altezza e ipotenusa del triangolo HCQ

Quindi, sempre per il primo principio sappiamo che il triangolo CHQ è uguale al triangolo ABC che era congruente anche con tutti gli altri triangoli, quindi di conseguenza anche i triangoli CPH e CHQ sono congruenti e di conseguenza anche gli angoli CP̂Q è congruente a PQ̂C.