[Risolto] Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Sul prolungamento di CA dalla parte di A considera un punto P e sul prolungamento di CB dalla parte di B un punto Q, in modo che AP sia congruente a BQ. Dimostra che AQ è congruente a BP.

Se tracciamo il segmento PQ, notiamo che verrà fuori un poligono regolare. E se ci fai caso, ho creato anche 2 triangoli rettangoli APH e BQO

Il primo criterio di congruenza dice che se due triangoli hanno due lati e angolo compreso dello stesso valore, allora sono congruenti.

Questi due triangoli hanno la stessa altezza AH = BO

E dato che i prolungamenti di CA e CB arrivano dai lati di un triangolo isoscele, anche l'angolo tra AP e AH sarà uguale all'angolo che si formerà tra BQ e BO

In più abbiamo detto che AP = BQ

I triangolo abbiamo dimostrato che hanno 2 lati e l'angolo compreso uguale, quindi sono congruenti e di conseguenza i lati PH e OQ sono di conseguenza uguali. Quindi se prendiamo tutta la base del trapezio PQ, avremo che la distanza PO (PQ-OQ) è uguale alla distanza HQ ( PQ-PH)

E da lì costruiamo altri due triangoli rettangoli AHQ e BOP e sempre seguendo il primo criterio di congruenza, questi triangoli hanno la stessa altezza e la stessa base ed essendo rettangoli, hanno in comune anche l'angolo di 90⁰. 

In conclusione, per il primo principio di congruenza, il lato AQ = BP