[Risolto] Sia ABC un triangolo inscritto in una circonferenza

Teorema delle corde:

in una circonferenza la misura di una corda è data dal prodotto della misura del diametro per il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sulla corda.

Angolo A:

A = 180° - 45° - 105°;

A = 30°;

L'angolo A che insiste sulla corda BC = 12,  misura 30°;

La corda BC = 12 ; A è  l'angolo che insiste su di essa.

BC = diametro * sen(A);

diametro = BC / sen(30°);

diametro = 12 / 0,5 = 24 ;

raggio = 24 / 2 = 12.

Possiamo ricavare gli altri lati del triangolo, le corde AC e AB;

AC = diametro * sen(B);

AC = 24 * sen45° = 24 * radice(2) / 2;

AC = 12 * radice(2);

AB = diametro * sen(C);

AB = 24 * sen(105°) = 24 * sen(60° + 45°);

AB = 24 * [(sen60° cos45°) + (cos60° sen45°)];

AB = 24 * [(radice(3) / 2 * radice(2) / 2) + (1/2 * radice(2) / 2];

AB = 24 * [radice(6) / 4 +  radice(2) / 4],

AB = 24/4 * [radice(6) + radice(2)] = 6 * [radice(6) + radice(2)] ;

Perimetro = 12 + 12 radice(2) + 6 radice(6) + 6 radice(2);

Perimetro = 12 + 18 radice(2) + 6 radice(6);

Perimetro = 6 * [2 + 3 radice(2) + radice(6)].

Ciao @mariel003

Dati due angoli
* β = 45°
* γ = 105°
e il lato compreso
* |BC| = a = 12
il triangolo ABC si risolve come segue.
* α = (180 - (45 + 105))° = 30°
Applicando il fatto che il rapporto fra un lato e il seno dell'angolo opposto è il doppio del circumraggio R (teorema dei seni) si ha
* a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ) = 2*R ≡
≡ 12/sin(30°) = b/sin(45°) = c/sin(105°) = 2*R ≡
≡ 24 = (√2)*b = 2*c/√(2 + √3) = 2*R ≡
≡ 12 = b/√2 = c/√(2 + √3) = R ≡
≡ (R = 12) & (b = 12*√2) & (c = 12*√(2 + √3))
da cui il richiesto perimetro
* p = a + b + c = 12 + 12*√2 + 12*√(2 + √3) =
= 12*(1 + √(3*(2 + √3))) ~= 52.15278
che è proprio il risultato atteso, riscritto più sinteticamente.
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"mi spunta un seno di 105"
* sin(a + b) = cos(b)*sin(a) + cos(a)*sin(b)
* sin(c/2) = ± √((1 - cos(c))/2)
* cos(c/2) = ± √((1 + cos(c))/2)
* sin(105°) = sin(90° + 15°) =
= cos(15°)*sin(90°) + cos(90°)*sin(15°) =
= cos(30°/2)*1 + 0*sin(30°/2) =
= cos(30°/2) = √((1 + cos(30°))/2) = √((1 + √3/2)/2) = √(2 + √3)/2