[Risolto] si tratta di fasci di rette nella circonferenza, vorrei aiuto sul 391

391. x²+y²-6x+(k-2)y+6-2k = 0

Studio del fascio.

Usiamo la tecnica del completamento dei quadrati per avere le coordinate dei centri e il raggio al quadrato r².

x²-6x+9 -9 + y²+(k-2)y + ((k-2)/2)² - ((k-2)/2)² - 2k - 3 = 0

(x-3)² + (y+(k-2)/2))² = ((k-2)/2)²+2k+3

• Le coordinate dei centri sono C(3,-(k-2)/2)) ⇒ Le circonferenze non sono concentriche (il centro dipende dal valore di k)
• Il quadrato del raggio r² = ((k-2)/2)²+2k+3
• Scegliamo due circonferenze del fascio per trovare gli eventuali punti base del fascio

{x²+y²-6x-2y+6 = 0 (k=0)

{x²+y²-6x+2 = 0 (k=2)

Le cui soluzioni (punti base) sono A(3-√3,2) e B(3+√3,2)

Il fascio è costituito da circonferenze secanti e i relativi punti di intersezione sono A, B.

Asse radicale è la retta che passa per A e per B cioè y=2.

a. raggio r=2

dalla r² = ((k-2)/2)²+2k+3

ricaviamo

((k-2)/2)²+2k+3 = 4

k²/4+k+4 = 0

la cui soluzione è k=-4 V k=0

b.

Area circonferenza pari a  A = 7π ⇒ r² = 7

((k-2)/2)²+2k+3 = 7

dopo qualche calcolo

k²/4+k+4 = 7

che ammette due soluzioni

k = -6 V k = 2

Fra la foto storta e la trascrizione a PdL (Pene di Levriero) non è facile capire che NON "SI TRATTA DI FASCI DI RETTE NELLA CIRCONFERENZA", ma (com'è detto poco oltre) di un singolo fascio di circonferenze da esaminare e specializzare.
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Le circonferenze del fascio
* x^2 + y^2 - 6*x + (k - 2)*y + 6 - 2*k = 0 ≡
≡ (x^2 - 6*x) + (y^2 + (k - 2)*y) + 2*(3 - k) = 0 ≡
≡ ((x - 3)^2 - 3^2) + ((y + (k - 2)/2)^2 - ((k - 2)/2)^2) + 2*(3 - k) = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + (y + (k - 2)/2)^2 - 3^2 - ((k - 2)/2)^2 + 2*(3 - k) = 0 ≡
≡ (x - 3)^2 + (y + (k - 2)/2)^2 = (k^2 + 4*k + 16)/4
hanno
* centro C(3, 1 - k/2)
* raggio r(k) = √(k^2 + 4*k + 16)/2 >= r(- 2) = √3 > 0
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L'asse centrale è palesemente x = 3.
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Per trovare l'asse radicale si devono sottrarre membro a membro le equazioni di due circonferenze distinte in forma normale canonica
* (x^2 + y^2 - 6*x + (a - 2)*y + 6 - 2*a) - (x^2 + y^2 - 6*x + (b - 2)*y + 6 - 2*b) = 0 ≡
≡ (a - b)*(y - 2) = 0 ≡
≡ y = 2
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I punti base (B1, B2), se esistono, sono le intersezioni fra l'asse radicale e una qualsiasi circonferenza
* (y = 2) & (x^2 + y^2 - 6*x + (k - 2)*y + 6 - 2*k = 0) ≡
≡ B1(3 - √3, 2) oppure B2(3 + √3, 2)
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) "... una circonferenza di raggio uguale a 2"
* r(k) = √(k^2 + 4*k + 16)/2 = 2 ≡ (k = - 4) oppure (k = 0)
* (x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 4
* (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5B%28x-3%29%5E2%2B%28y-3%29%5E2%3D4%2C%28x-3%29%5E2%2B%28y-1%29%5E2%3D4%5D
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B) "... una circonferenza che racchiude un'area uguale a 7*π"
* A = π*r^2 = π*(k^2 + 4*k + 16)/4 = 7*π ≡
≡ k^2 + 4*k + 16 - 28 = 0 ≡
≡ (k + 6)*(k - 2) = 0 ≡
≡ (k = - 6) oppure (k = 2)
* (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 7
* (x - 3)^2 + y^2 = 7

Ciao. Rispondo adesso alla prima domanda. Per la seconda parte continuerò domani.

x^2 + y^2 - 6·x + (k - 2)·y + 6 - 2·k = 0

equazione implicita della circonferenza:x^2 + y^2 + a·x + b·y + c = 0

Si deve riconoscere da questa forma implicita il centro (ammesso di conoscere k) ed il raggio.

Precisamente si ha:

a = -6

b = k - 2

c = 6 - 2·k

Il centro è:

C(α,β) con 

{α = - a/2 = 3

{β = - b/2 = (2 - k)/2

Il raggio è:

r = √(α^2 + β^2 - c)  ---> r = √(k^2 + 4·k + 16)/2 ma r=2 quindi:

√(k^2 + 4·k + 16) = 4 elevo al quadrato:

k^2 + 4·k + 16 = 16

Equazione spuria: k = -4 ∨ k = 0

Le due circonferenze sono:

x^2 + y^2 - 6·x - 2·y + 6 = 0 (fai tu i calcoli)

x^2 + y^2 - 6·x - 6·y + 14 = 0

Sono secanti. Il grafico è allegato