Il settore circolare ha perimetro formato dai due raggi e dall'arco di circonferenza:
$ p = 2r + a$
Dalla definizione di angolo in radianti, sappiamo che:
$ \alpha = \frac{a}{r}$
dunque possiamo scrivere:
$ p= 2r + r\alpha = 12$
da cui:
$ \alpha = \frac{12-2r}{r}$
L'area di un settore circolare di ampiezza $\alpha$ si può calcolare dalla semplice proporzione:
$ A_s : \pi r^2 = \alpha : 2\pi$
$ A_s = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{2\pi} = \frac{\alpha r^2}{2}$
e sostituendo il valore di $\alpha$ in funzione di r:
$ A_s(r) = \frac{\frac{12-2r}{r} \cdot r^2}{2} = \frac{12r - 2r^2}{2} = 6r-r^2$
andiamo a massimizzare l'area, trovandone la derivata:
$A_s'(r) = 6-2r$
Il massimo lo abbiamo per
$6-2r=0$
$ r = 3$
Noemi