Serie

x >= 0 per l'esistenza del logaritmo

e -1 < log_1/3 x < 1 per la convergenza della serie geometrica.

La serie
* S(b) = Σ [k = 0, ∞] b^k
converge se e solo se |b| < 1, ma senza alcuna necessità d'avere valori reali della base b, purché b sia un valore definito e compreso all'interno del cerchio unitario sul piano di Argand-Gauss.
Pertanto
* S((log(1/3, x))) = Σ [k = 0, ∞] (log(1/3, x))^k
converge se e solo se
* |log(1/3, x)| = |- ln(x)/ln(3)| < 1 ≡ |ln(x)| < ln(3) ≡ ln(1/3) < ln(x) < ln(3)
con l'unica restrizione x != 0 che, dà luogo alla soluzione reale
* (x > 0) & (1/3 < x < 3)
che è anche l'unica, in quanto
* (x < 0) & (|ln(|x|) + i*π| < ln(3))
non ha soluzione perché
* |ln(|x|) + i*π| = √(ln^2(x^2) + 4*π^2)/2 >= π > ln(3) ~= 1.1