Per quali valori di beta reali, la serie converge?
Per quali valori di beta reali, la serie converge?
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Livello 1
1 - cos y = 2 sin^2 (y/2) = 2(y/2)^2 = y^2/2
rad(3 + u^2) - u = (3 + u^2 - u^2 )/(rad(3 + u^2) + u) =
= 3/(u + rad(u^2 + 3))
Se beta é minore di 1 l'esponente é negativo => n^(beta - 1) -> 0
e 1 - cos rad(3) é costante per cui non tende a 0 per n -> oo.
Quindi preliminarmente deve essere beta > 1
allora u = n^(beta - 1) tende a oo per cui l'argomento va come 3/(2u)
1/2 (9/4u^2) va come 9/8 * 1/u^2 = 9/8 * 1/(n^(2(beta - 1))
2(beta - 1) > 1 va ad associarsi a beta > 1
2 beta > 2 + 1 => beta > 3/2
questa condizione assicura che il termine generale vada a 0 per n->oo
come (1/n)^p , p > 1, e quindi la serie converga.
Spero di non aver sbagliato i calcoli.
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Livello 7