[Risolto] SERIE

Sia la serie

\[\sum_{n = 1}^{\infty} n\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}\right) \log{\left(\frac{n + 7}{n + 6}\right)}\,.\]

Sviluppando in serie di Taylor e stimando asintoticamente

\[1 - \cos{\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)} \overset{n \rightarrow \infty}{\approx} \frac{1}{2n} \quad \text{e}\]

\[\log{\left(\frac{n + 7}{n + 6}\right)} = \log{\left(1 + \frac{1}{n + 6}\right)} \overset{n \rightarrow \infty}{\approx} \frac{1}{n + 6} \overset{n \rightarrow \infty}{\approx} \frac{1}{n}\,,\]

si ha

\[\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{n \cdot \frac{1}{2n} \cdot \frac{1}{n}} = \phi > 0\,.\]

Ergo la serie diverge in quanto, per $n \in I(\infty)\,$,  essa si comporta asintoticamente come una serie armonica divergente, per il criterio del confronto asintotico.

1 - cos u si comporta come u^2/2

ln (1 + 1/(n+6)) va come 1/(n+6)

Quindi 

n *1/2 *1/n*1/(n+6) va come 1/2*1/n

e quindi diverge