seno e coseno

spiega se può esistere 

- un angolo alfa tale che sin alfa = -0,001

α = arcsen (0,001)*v35 = -0,05730°

- un angolo beta tale che cos beta = 1,001 

no, il coseno ha come limiti ± 1,0000000

- un angolo gamma tale che tan gamma = 3

γ = arctan 3 = 71,565°

@francesca04

Le funzioni seno e coseno sono funzioni definite in R di valori compresi tra [-1 : 1]. Quindi:

Esiste:

un angolo alfa tale che sin alfa = -0,001 

alfa= arcsin (-0,001)

Non esiste:

un angolo beta tale che cos beta = 1,001

La funzione tan (x)  = sin (x) /cos(x)  è una funzione definita in R-{pi/2  + k*pi}, k€Z ed ha valori compresi (-inf : + inf). 

Esiste:

angolo gamma tale che tan gamma = 3 

gamma = arctan (3) =~ 71,56°

Ahi, ahi, ahi, ahi, ahi! NON HAI DICHIARATO SCUOLA E ANNO.
Per coprire ogni caso devo fare conto che sia il primo anno di una facoltà scientifica o tecnica.
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SPIEGAZIONE
Per la loro primitiva definizione basata sui rapporti fra cateti e ipotenusa di un triangolo rettangolo non degenere seno e coseno degli angoli acuti hanno valori fra zero e uno estremi esclusi.
Allargando la definizione al cerchio trigonometrico seno e coseno non sono più nomi di rapporti, ma diventano nomi di funzioni d'arco [sin(x) e cos(x)] in cui è l'argomento x ad essere il rapporto fra la lunghezza dell'arco e quella del raggio; in tale definizione, divenuta quella standard, il triangolo rettangolo di riferimento ha il raggio per ipotenusa e può degenerare su entrambi gli assi di riferimento; quindi le funzioni hanno valori fra meno uno e uno estremi inclusi.
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NOTE
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1) Ponendo a uno il raggio del cerchio trigonometrico la lunghezza dell'arco eguaglia l'ampiezza in radianti dell'angolo al centro e così si usa anche dire "seno dell'angolo"; ma, una volta definita, la funzione non è più d'arco o d'angolo: è funzione "d'argomento x PIPPO" dove PIPPO è il nome di un insieme numerico (naturale, cardinale, intero, razionale, reale, complesso, quaternione, ...), se PIPPO non c'è s'intende REALE.
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2) Poiché il triangolo rettangolo di riferimento è lo stesso per archi che differiscano di un numero intero di giri, le funzioni sin(x) e cos(x) sono periodiche con periodo T = un giro = 2*π radianti.
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3) La definizione tg(x) = sin(x)/cos(x) comporta due conseguenze.
3a) La tangente può assumere un qualsiasi valore reale ed è indefinita là dove cos(x) = 0.
3b) Avendo lo stesso valore per archi con estremi simmetrici rispetto al centro ha periodo T = 1/2 giro = π radianti.
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4) I tre quesiti dell'esercizio NON si riferiscono alle funzioni sin(x), cos(x) e tg(x), ma alle loro inverse arcsin(x), arccos(x) e arctg(x): infatti riguardano l'esistenza di un angolo
4a) "α tale che sin(α) = - 0.001" ≡ x = arcsin(- 1/1000)
4b) "β tale che cos(β) = 1,001" ≡ y = arccos(1001/1000)
4c) "γ tale che tg(γ) = 3" ≡ z = arctg(3)
E QUI C'È UN PICCOLO INGHIPPO
Le funzioni (tri)gonometriche inverse di variabile x reale sono definite da formule
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_trigonometrica_inversa#Forme_logaritmiche
che contengono l'unità immaginaria "i" e quindi, in generale, hanno sempre un valore, magari complesso, per ogni argomento x reale.
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CONCLUSIONE
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Se la consegna «spiega se può esistere
- un angolo alfa tale che sin alfa = -0,001
- un angolo beta tale che cos beta = 1,001
- un angolo gamma tale che tan gamma = 3
»
fa parte di un compito d'esame (o di università) dove la presenza non richiesta di ipotesi aggiuntive comporta la bocciatura, allora LA RISPOSTA DEVE ESSERE «Sì, possono esistere tutt'e tre, coi seguenti valori approssimati
* x = arcsin(- 1/1000) ~= - 1/1000 rad ~= - (0° 3' 26.26'')
* y = arccos(1001/1000) ~= i*0.0447 rad ~= i*(2° 33' 40'')
* z = arctg(3) ~= 1.249 rad ~= 71° 33' 54.18''
»
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Se invece fa parte di un compito NON D'ESAME di scuola media superiore, allora si può tollerare l'abuso di porre l'ipotesi aggiuntiva d'intendere la consegna come se fosse stata «spiega se può esistere
- un angolo reale alfa tale che sin alfa = -0,001
- un angolo reale beta tale che cos beta = 1,001
- un angolo reale gamma tale che tan gamma = 3
»
ma, ripeto, è un abuso.
Con quest'ipotesi aggiuntiva le risposte si diversificano.
* x = arcsin(- 1/1000) può esistere perché "- 1/1000" è in [- 1, 1].
* y = arccos(1001/1000) NON può esistere perché "1001/1000" NON è in [- 1, 1].
* z = arctg(3) può esistere perché tre è "un qualsiasi valore reale".