Data una matrice quadrata A di ordine 3 tale che AXA sia la matrice nulla. Allora è vero o falso che necessariamente la matrice A deve essere nulla?. Nel caso in cui sia vero, dimostrarlo.
Ho dei dubbi su questo quesito, chi mi può aiutare? La risposta dovrebbe essere vera, ma come si dimostrerebbe?
400
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Livello 1
La migliore confutazione è il contresempio (come quello dovuto @EidosM).
L'impossibilità di formare un contresempio è la dimostrazione per assurdo.
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A quale condizione il quadrato (A^2 = A.A) di una matrice tre per tre non nulla è una matrice nulla?
Sia
* A = {{a, b, c}, {p, q, r}, {u, v, w}}
dove almeno uno dei nove elementi sia non nullo; si ha
* A^2 = A.A = {{a^2 + b*p + c*u, a*b + b*q + c*v, a*c + b*r + c*w}, {a*p + p*q + r*u, b*p + q^2 + r*v, c*p + q*r + r*w}, {a*u + p*v + u*w, b*u + q*v + v*w, c*u + r*v + w^2}}
che è una matrice nulla a condizione che lo siano tutt'e nove i suoi elementi.
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"..., ma come si dimostrerebbe?"
Esibendo l'unicità della soluzione banale del sistema di 512-mo grado
* (a^2 + b*p + c*u = 0) & (a*b + b*q + c*v = 0) & (a*c + b*r + c*w = 0) & (a*p + p*q + r*u = 0) & (b*p + q^2 + r*v = 0) & (c*p + q*r + r*w = 0) & (a*u + p*v + u*w = 0) & (b*u + q*v + v*w = 0) & (c*u + r*v + w^2 = 0)
o di un suo sottinsieme significativo.
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Il mio software d'elezione, WolframAlpha, non accetta l'intero sistema.
Accetta quello delle prime otto equazioni e, fra le soluzioni, ne elenca molte con due o tre variabili non nulle (oltre alle nove con una sola variabile non nulla): per ciascuna di esse si dovrebbe fare sistema con la nona equazione.
Io 512 sistemi così non ho la pazienza di scriverli, vedi tu di usare un software di calcolo con una casella di input più accogliente di quella di WolframAlpha.
57171
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Genius I
@exprof grazie
45559
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Livello 7
@eidosm grazie mille, avevo pensato anch'io a questo, però non riuscivo a trovare il controesempio
