[Risolto] Scrivi l'equazione dell'ellisse con centro nell'origine con un vertice in -3, 0

Ellisse

x^2/α + y^2/β = 1

passa per [-3, 0] ed [- 1/3, 4]

{(-3)^2/α + 0^2/β = 1

{(- 1/3)^2/α + 4^2/β = 1

quindi:

{α = 9

{1/(9·α) + 16/β = 1

Risolvo: α = 9 ∧ β = 81/5

x^2/9 + 5·y^2/81 = 1

Parabola

y = a·x^2 + b·x + c

passa per V [0, 1] quindi c=1 e b=0 (equazione asse x=-b/(2a))

y = a·x^2 + 1

passa per [-4, 9] : 9 = a·(-4)^2 + 1

quindi: 9 = 16·a + 1--->a = 1/2

y = 1/2·x^2 + 1

Intersezioni ellisse parabola

{x^2/9 + 5·y^2/81 = 1

{y = 1/2·x^2 + 1

Risolvo ed ottengo: [x = -2 ∧ y = 3 , x = 2 ∧ y = 3]

[-2, 3] punto A

[2, 3] punto B

Rette tangenti in B [2,3]

Formule di sdoppiamento:

Alla ellisse:

2·x/9 + 5/81·(3·y) = 1----> y = 27/5 - 6·x/5

Alla parabola:

(y + 3)/2 = 1/2·(2·x) + 1----> y = 2·x - 1

---------------------------------

Retta AB:   y=3

y = 27/5 - 6·x/5----> x = (27 - 5·y)/6

y = 2·x - 1----> x = (y + 1)/2

Quindi si risolve:

ABS((27 - 5·y)/6 - (y + 1)/2) = 20/3

che fornisce: y = 3 ± 5----> y = 8 ∨ y = -2

Da cui risali ai punti P e Q

"ellisse con centro nell'origine con un vertice in (- 3, 0)"
* Γe ≡ (x/3)^2 + (y/b)^2 = 1
---------------
"e passante per il punto (- 1/3, 4)"
* ((- 1/3)/3)^2 + (4/b)^2 = 1 ≡ b = 9/√5
* Γe ≡ (x/3)^2 + (y/(9/√5))^2 = 1 ≡
≡ 9*x^2 + 5*y^2 - 81 = 0
------------------------------
"parabola con asse parallelo all'asse y di vertice V(0, 1)"
* Γp ≡ y = 1 + a*x^2
---------------
"e passante per (- 4, 9)"
* 9 = 1 + a*(- 4)^2 ≡ a = 1/2
* Γp ≡ y = 1 + x^2/2 ≡
≡ x^2 - 2*y + 2 = 0
------------------------------
"i loro punti di intersezione A e B, con B nel primo quadrante"
* Γe & Γp ≡ (9*x^2 + 5*y^2 - 81 = 0) & (x^2 - 2*y + 2 = 0) ≡
≡ A(- 2, 3) oppure B(2, 3)
da cui
* AB ≡ y = 3
------------------------------
"Nel punto B(2, 3) traccia le tangenti alle due curve"
* te ≡ 9*x*2 + 5*y*3 - 81 = 0 ≡ y = (27 - 6*x)/5
* tp ≡ x*2 - 2*(y + 3)/2 + 2 = 0 ≡ y = 2*x - 1
---------------
"e su di esse"
* Γt ≡ ((27 - 6*x)/5 - y)*(2*x - 1 - y) = 0 ≡
≡ 12*x^2 + 4*x*y - 5*y^2 - 60*x + 22*y + 27 = 0
---------------
"determina i punti P e Q in modo che PQ // AB e |PQ| = 20/3"
* PQ ≡ y = k
* PQ & Γt ≡ (y = k) & (12*x^2 + 4*x*y - 5*y^2 - 60*x + 22*y + 27 = 0) ≡
≡ P((27 - 5*k)/6, k) oppure Q((k + 1)/2, k)
* |PQ| = 4*|k - 3|/3 = 20/3 ≡
≡ (k = - 2) oppure (k = 8)
da cui
* {P, Q} ∈ {{(37/6, - 2), (- 1/2, - 2)}, {(- 13/6, 8), (9/2, 8)}}