[Risolto] Scrivi l'equazione del piano alfa passante per il punto A

(x - 1)/2 = (y - 3)/2 = z + 1

metto la retta in forma parametrica

{(x - 1)/2 = (y - 3)/2

{(x - 1)/2 = z + 1

{z = t

quindi:

(x - 1)/2 = t + 1---> x = 2·t + 3

((2·t + 3) - 1)/2 = (y - 3)/2----> y = 2·t + 5

Quindi:

{x = 2·t + 3

{y = 2·t + 5

{z = t

Determino due punti distinti su tale retta.

t = 0

{x = 3

{y = 5

{z = 0

Quindi:

[3, 5, 0]

t = 1

{x = 5

{y = 7

{z = 1

[5, 7, 1]

Determino il piano a·x + b·y + c·z + d = 0

passante per i punti:

{a·3 + b·5 + c·0 + d = 0     [3, 5, 0]

{a·5 + b·7 + c·1 + d = 0    [5, 7, 1]

{a·0 + b·10 + c·(-1) + d = 0  [0, 10, -1]

Cioè risolvo il sistema:

{ 3·a + 5·b + d = 0

{5·a + 7·b + c + d = 0

{10·b - c + d = 0

ed ottengo:

[a = - 7·d/26 ∧ b = - d/26 ∧ c = 8·d/13]

(- 7·d/26)·x + (- d/26)·y + 8·d/13·z + d = 0

7·d·x/26 + d·y/26 - 8·d·z/13 - d = 0

Quindi; posto ad esempio: d = 26

7·x + y - 16·z - 26 = 0

Un generico piano ad esso parallelo differisce solo da una costante:

7·x + y - 16·z + k = 0

Impongo il passaggio per [0, 2, -1]

7·0 + 2 - 16·(-1) + k = 0----> k + 18 = 0---> k = -18

Il piano è:

7·x + y - 16·z - 18 = 0