Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse X che a vertice in (1,2) ed è tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
Scrivere l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse X che a vertice in (1,2) ed è tangente alla bisettrice del primo e del terzo quadrante
Scriviamo per ora tutto ciò che abbiamo:
Equazione generale della parabola però invertendo la x e la y perché se l'asse è parallelo all'asse x, vuol dire che la parabola è ruotata
Quindi la funzione sarà:
x = ay²+by+c
E sappiamo che è tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante che è caratterizzato dalla funzione y=x
(Fosse stato bisettrice del secondo e quarto quadrante sarebbe stato y=-x)
Quindi si mette a sistema le due funzioni e per metodo di sostituzione, nell'equazione della parabola, invece di y mettiamo x
X = ax² + bx + c
mettiamo tutti i termini in un membro
ax²+bx-x+c = 0
ax²+(b-1)x + c = 0
Calcoliamo il delta e lo poniamo uguale a 0 perché essendo la bisettrice tangente, ci deve essere una sola soluzione (se fosse minore di 0, non ci sarebbero soluzioni. Invece se fosse maggiore, ci sarebbero 2 soluzioni, ma non significa più essere tangenti)
∆ = b²-4ac =0
∆ = (b-1)²-4ac = 0
∆ = b²-2b+1-4ac = 0
Se noti, abbiamo ottenuto un'altra equazione di secondo grado però in funzione di b, dove:
a = 1
b= -2
c = 1-4ac
A questo punto ricalcoliamo il delta
∆ = (-2)²-4(1-4ac) = 0
∆ = 4-4+16ac = 0
∆ = 16ac = 0
Quindi abbiamo 2 opzioni... a = 0 oppure c=0
Però se a fosse nullo, mancherebbe il termine di secondo grado e quindi non ci sarebbe più una parabola, quindi c=0
Ritorniamo al delta di prima:
∆ = b²-2b+1-4ac = 0
∆ = b²-2b+1 = 0
È un quadrato di binomio
∆ = (b-1)² = 0
Quindi b = 1
Ora ci manca da scoprire solo la a
Ritorniamo all'equazione generale
x = ay²+by+c
Sostituendo i valori trovati b=1 e c=0
x = ay²+y
Sappiamo che il vertice passa per V(1;2)
Andiamo a sostituire x=1 e y=2
1 = a(2)²+2
1 = 4a +2
4a = 1-2 = -1
a = -1/4
In conclusione l'equazione della parabola sarà
X = - ¼y² + y
x = a·y^2 + b·y + c
{1 = a·2^2 + b·2 + c passa per [1, 2]
{- b/(2·a) = 2 asse parabola
Risolvo:
{4·a + 2·b + c = 1
{b/a = -4
ed ottengo: [a = (c - 1)/4 ∧ b = 1 - c ∧ a ≠ 0]
quindi metto a sistema:
{x = (c - 1)/4·y^2 + (1 - c)·y + c
{y = x
Quindi:
(c - 1)/4·x^2 + (1 - c)·x + c - x = 0
x^2·(c - 1)/4 - c·x + c = 0
condizione di tangenza: Δ = 0
(-c)^2 - (c - 1)·c = 0---> c = 0
x = (0 - 1)/4·y^2 + (1 - 0)·y + 0
x = y - y^2/4