Scrive l’equazione della parabola

x = a·y^2 + b·y + c

{1 = a·2^2 + b·2 + c  passa per [1, 2]

{- b/(2·a) = 2  asse parabola

Risolvo:

{4·a + 2·b + c = 1

{b/a = -4

ed ottengo: [a = (c - 1)/4 ∧ b = 1 - c ∧ a ≠ 0]

quindi metto a sistema:

{x = (c - 1)/4·y^2 + (1 - c)·y + c

{y = x

Quindi:

(c - 1)/4·x^2 + (1 - c)·x + c - x = 0

x^2·(c - 1)/4 - c·x + c = 0

condizione di tangenza: Δ = 0

(-c)^2 - (c - 1)·c = 0---> c = 0 

x = (0 - 1)/4·y^2 + (1 - 0)·y + 0

x = y - y^2/4

Scriviamo per ora tutto ciò che abbiamo:

Equazione generale della parabola però invertendo la x e la y perché se l'asse è parallelo all'asse x, vuol dire che la parabola è ruotata 

Quindi la funzione sarà:

x = ay²+by+c

E sappiamo che è tangente alla bisettrice del primo e terzo quadrante che è caratterizzato dalla funzione y=x

(Fosse stato bisettrice del secondo e quarto quadrante sarebbe stato y=-x)

Quindi si mette a sistema le due funzioni e per metodo di sostituzione, nell'equazione della parabola, invece di y mettiamo x

X = ax² + bx + c

mettiamo tutti i termini in un membro

ax²+bx-x+c = 0

ax²+(b-1)x + c = 0

Calcoliamo il delta e lo poniamo uguale a 0 perché essendo la bisettrice tangente, ci deve essere una sola soluzione (se fosse minore di 0, non ci sarebbero soluzioni. Invece se fosse maggiore, ci sarebbero 2 soluzioni, ma non significa più essere tangenti)

∆ = b²-4ac =0

∆ = (b-1)²-4ac = 0

∆ = b²-2b+1-4ac = 0

Se noti, abbiamo ottenuto un'altra equazione di secondo grado però in funzione di b, dove:

a = 1

b= -2

c = 1-4ac

A questo punto ricalcoliamo il delta

∆ = (-2)²-4(1-4ac) = 0

∆ = 4-4+16ac = 0

∆ = 16ac = 0

Quindi abbiamo 2 opzioni... a = 0 oppure c=0

Però se a fosse nullo, mancherebbe il termine di secondo grado e quindi non ci sarebbe più una parabola, quindi c=0

Ritorniamo al delta di prima:

∆ = b²-2b+1-4ac = 0

∆ = b²-2b+1 = 0

È un quadrato di binomio

∆ = (b-1)² = 0

Quindi b = 1

Ora ci manca da scoprire solo la a

Ritorniamo all'equazione generale

x = ay²+by+c

Sostituendo i valori trovati b=1 e c=0

x = ay²+y

Sappiamo che il vertice passa per V(1;2)

Andiamo a sostituire x=1 e y=2

1 = a(2)²+2

1 = 4a +2

4a = 1-2 = -1

a = -1/4

In conclusione l'equazione della parabola sarà 

X = - ¼y² + y